Use o Teorema de Divergência para calcular , onde é a fronteira da caixa dada por e .
A atividade vale 10,0 (dez pontos). Justifique suas respostas.
Boa prova. Caso não saiba questão alguma,
abra seu coração
Diga o que sabe!
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Vetorial, especificamente usando o Teorema da Divergência. A gente precisa calcular a integral de superfície da função vetor sobre a fronteira de uma caixa definida pelos limites , e . O Teorema da Divergência vai nos ajudar a transformar essa integral de superfície em uma integral tripla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de superfície de uma função vetor sobre uma superfície fechada é igual à integral tripla do divergente de sobre o volume dentro de . Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de , que é . Para uma função vetor , o divergente é dado por:
Vamos identificar , e na nossa função :
Então, calculando as derivadas parciais:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos o divergente, vamos montar a integral tripla sobre o volume da caixa. Os limites são:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :