Use o Teorema de Divergência para calcular integral duplaS F cdot d S, onde S é a fronteira da caixa dada por 0 <= x <= 2,1 <= y <= 4,0 <= z <= 1 e 毋 subseteq infty.
A atividade vale 10,0 (dez pontos). Justifique suas respostas.
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Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Vetorial, especificamente usando o Teorema da Divergência. A gente precisa calcular a integral de superfície da função vetor F(x, y, z) = (x^2+y z, y-z, 2 x+2 y+2 z) sobre a fronteira S de uma caixa definida pelos limites 0 <= x <= 2, 1 <= y <= 4 e 0 <= z <= 1. O Teorema da Divergência vai nos ajudar a transformar essa integral de superfície em uma integral tripla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de superfície de uma função vetor F sobre uma superfície fechada S é igual à integral tripla do divergente de F sobre o volume V dentro de S. Matematicamente, isso é escrito como:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV (nabla cdot F) , dV

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de F, que é nabla cdot F. Para uma função vetor F = (P, Q, R), o divergente é dado por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Vamos identificar P, Q e R na nossa função F:
P = x^2 + y z, Q = y - z, R = 2x + 2y + 2z
Então, calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial x = 2x, partial Qpartial y = 1, partial Rpartial z = 2
Portanto:
nabla cdot F = 2x + 1 + 2 = 2x + 3

Passo 4

Agora que temos o divergente, vamos montar a integral tripla sobre o volume da caixa. Os limites são:
0 <= x <= 2, 1 <= y <= 4, 0 <= z <= 1
Então, a integral fica:
integral triplaV (2x + 3) , dV = integral0^2 integral1^4 integral0^1 (2x + 3) , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 (2x + 3) , dz = (2x + 3) cdot z |0^1 = 2x + 3
Agora, temos:
integral0^2 integral1^4 (2x + 3) , dy , dx

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a y:
integral1^4 (2x + 3) , dy = (2x + 3) cdot y |1^4 = (2x + 3)(4 - 1) = 3(2x + 3) = 6x + 9
Agora, a integral fica:
integral0^2 (6x + 9) , dx

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a x:
integral0^2 (6x + 9) , dx = 3x^2 + 9x |0^2 = 3(2)^2 + 9(2) - (0 + 0) = 12 + 18 = 30

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot d S vale 30.

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