Estude as convergências das sequências :

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede: a gente tem a sequência an = n cdot sin(pin) e precisa estudar se ela converge, ou seja, descobrir para onde essa sequência está indo conforme n aumenta. Vamos usar conceitos de limites e umas propriedades do seno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, bora entender o que acontece com pin quando n fica muito grande. Quanto maior n, menor fica pin. Na verdade, quando n vai para o infinito, pin se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, lembre-se de que sin(x) é aproximadamente igual a x quando x está pertinho de zero. Isso significa que, para valores bem pequenos de x, como pin quando n é grande, podemos dizer que sin(pin) approx pin.

Passo 4

Aplicando essa aproximação na nossa sequência:
an = n cdot sin(pin) approx n cdot pin = pi
Isso mostra que, conforme n cresce, an está se aproximando de pi.

Passo 5

Para confirmar de forma mais rigorosa, vamos calcular o limite:
limn to infty n cdot sin(pin) = pi cdot limn to infty sin(pin)pin = pi cdot 1 = pi
Aqui usamos o fato de que limx to 0 sin(x)x = 1.

Resposta

O limite da sequência é pi.

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