Calcule a seguinte integral iterada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla, que é basicamente uma integral dentro de outra integral. O enunciado é:
Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Vamos precisar conhecer as regras de integração e como resolver integrais sobre regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral interna é em relação a $ x $, variando de 0 a 2, e a externa é em relação a $ y $, variando de 1 a 3. Então, vamos integrar primeiro com respeito a $ x $.
Passo 3
Vamos focar na integral interna:
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ x $.
Passo 4
Integrando $ x^{2} y $ em relação a $ x $:
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos avaliar entre os limites.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de 0 a 2 na integral interna:
Então, a integral interna resulta em $ \frac{8}{3} y $.
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Isso simplifica para:
Passo 7
Vamos integrar $ y $ em relação a $ y $:
Novamente, ignoramos a constante $ C $ porque vamos avaliar os limites.
Passo 8
Aplicando os limites de 1 a 3 na integral externa:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{32}{3} $.