Calcule a seguinte integral iterada:
integral1^3 integral0^2(x^2 y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla, que é basicamente uma integral dentro de outra integral. O enunciado é:
integral1^3 integral0^2(x^2 y) dx dy
Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Vamos precisar conhecer as regras de integração e como resolver integrais sobre regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral interna é em relação a $ x $, variando de 0 a 2, e a externa é em relação a $ y $, variando de 1 a 3. Então, vamos integrar primeiro com respeito a $ x $.

Passo 3

Vamos focar na integral interna:
integral0^2 x^2 y , dx
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ x $.

Passo 4

Integrando $ x^{2} y $ em relação a $ x $:
x^2 y
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos avaliar entre os limites.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de 0 a 2 na integral interna:
y ( 2^33 - 0^33 ) = y ( 83 - 0 ) = 83 y
Então, a integral interna resulta em $ \frac{8}{3} y $.

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral1^3 83 y , dy
Isso simplifica para:
83 integral1^3 y , dy

Passo 7

Vamos integrar $ y $ em relação a $ y $:
y
Novamente, ignoramos a constante $ C $ porque vamos avaliar os limites.

Passo 8

Aplicando os limites de 1 a 3 na integral externa:
83 ( 3^22 - 1^22 ) = 83 ( 92 - 12 ) = 83 ( 82 ) = 83 times 4 = 323

Resposta

O valor da integral dupla é $ \frac{32}{3} $.

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