Suponha f(x, y) diferenciável e que, para todo x, f(3 x+1,3 x-1)=4. Verifique que
partial fpartial x(3 x+1,3 x-1)=-partial fpartial y(3 x+1,3 x-1)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável f(x,y) e que, para todo x, f(3x+1,3x-1)=4. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas, e vamos precisar relacionar derivadas parciais a partir da condição de que essa composição é constante.

Passo 2

Então, vamos definir g(x)=f(3x+1,3x-1). Como f(3x+1,3x-1) vale sempre 4, g(x) é constante e, portanto, aplicamos a regra da cadeia:
g'(x)=partial fpartial x(3x+1,3x-1)cdotddx(3x+1)+partial fpartial y(3x+1,3x-1)cdotddx(3x-1)

Passo 3

Como ddx(3x+1)=3 e ddx(3x-1)=3, fica
g'(x)=3partial fpartial x(3x+1,3x-1)+3partial fpartial y(3x+1,3x-1)

Passo 4

Como g’(x)=0, temos
3partial fpartial x(3x+1,3x-1)+3partial fpartial y(3x+1,3x-1)=0,
ou seja
partial fpartial x(3x+1,3x-1)+partial fpartial y(3x+1,3x-1)=0,
daí concluímos que
partial fpartial x(3x+1,3x-1)=-partial fpartial y(3x+1,3x-1)

Resposta

partial fpartial x(3x+1,3x-1)=-partial fpartial y(3x+1,3x-1)

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