Nos exercícios a seguir escreva os primeiros termos da série; determine se é convergente ou divergente. Se for convergente; obtenha sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série infinita
. Estamos lidando com uma série alternada, que é uma soma infinita onde os termos mudam de sinal. Para resolver, vamos:
- Escrever os primeiros termos da série.
- Verificar se a série converge (ou seja, se ela tem um valor finito).
- Se convergir, calcular a soma dessa série.
Passo 2
primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para entender melhor como ela se comporta:
Então, os primeiros termos são:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série converge. Como a série alterna os sinais dos termos e os valores absolutos dos termos estão diminuindo (como $ \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, ··· $), podemos usar o Teste da Série Alternada.
O Teste da Série Alternada diz que se os termos de uma série alternada:
- Têm sinais alternados.
- O valor absoluto dos termos está diminuindo.
- O limite dos termos, quando $ n $ tende ao infinito, é zero.
Então, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, vamos calcular a soma dela. Observamos que a série é semelhante a uma série geométrica com razão $ r = -\frac{1}{2} $.
A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão da série.
No nosso caso:
- $ a = \frac{3}{2} $
- $ r = -\frac{1}{2} $
Aplicando na fórmula:
Resposta
A série converge e a sua soma é 1.