Nos exercícios a seguir escreva os primeiros termos da série; determine se é convergente ou divergente. Se for convergente; obtenha sua soma:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 32^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série infinita sumn=1^+infty(-1)^n+1 32^n. Estamos lidando com uma série alternada, que é uma soma infinita onde os termos mudam de sinal. Para resolver, vamos:
  1. Escrever os primeiros termos da série.
  2. Verificar se a série converge (ou seja, se ela tem um valor finito).
  3. Se convergir, calcular a soma dessa série.

Passo 2

primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para entender melhor como ela se comporta:
n=1:& (-1)^1+1 cdot 32^1 = (-1)^2 cdot 32 = 1 cdot 32 = 32 n=2:& (-1)^2+1 cdot 32^2 = (-1)^3 cdot 34 = -1 cdot 34 = -34 n=3:& (-1)^3+1 cdot 32^3 = (-1)^4 cdot 38 = 1 cdot 38 = 38 n=4:& (-1)^4+1 cdot 32^4 = (-1)^5 cdot 316 = -1 cdot 316 = -316 & vdots
Então, os primeiros termos são: 32, -34, 38, -316, ldots

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge. Como a série alterna os sinais dos termos e os valores absolutos dos termos estão diminuindo (como $ \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, ··· $), podemos usar o Teste da Série Alternada.
O Teste da Série Alternada diz que se os termos de uma série alternada:
  1. Têm sinais alternados.
  2. O valor absoluto dos termos está diminuindo.
  3. O limite dos termos, quando $ n $ tende ao infinito, é zero.
Então, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular a soma dela. Observamos que a série é semelhante a uma série geométrica com razão $ r = -\frac{1}{2} $.
A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
r = -12
onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão da série.
No nosso caso:
  • $ a = \frac{3}{2} $
  • $ r = -\frac{1}{2} $
Aplicando na fórmula:
S = a1 - r

Resposta

A série converge e a sua soma é 1.

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