(2,5 pt) Calcule a seguinte integral justificando cada passagem:
\int \frac{2 x^{2}+4 x}{2 x^{2}-7 x-4} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Calcular a integral
\int \frac{2 x^{2}+4 x}{2 x^{2}-7 x-4}\,dx.
  • Informação relevante dada: o integrando é uma função racional (quociente de polinômios). A pergunta é obter uma primitiva (antiderivada) e justificar cada passagem.

Passo 2

Primeiro passo prático em integrais de racionais quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador: fazer divisão de polinômios para separar uma parte polinomial mais uma fração própria (numerador de grau menor que o denominador).
Faço a subtração direta (equivalente à divisão):
2x^{2}+4x-(2x^{2}-7x-4)=11x+4.
Logo
\frac{2 x^{2}+4 x}{2 x^{2}-7 x-4}=1+\frac{11x+4}{2x^{2}-7x-4}.
Portanto
\int \frac{2 x^{2}+4 x}{2 x^{2}-7 x-4}\,dx=\int 1\,dx+\int\frac{11x+4}{2x^{2}-7x-4}\,dx.

Passo 3

Agora tratamos a integral
I=\int\frac{11x+4}{2x^{2}-7x-4}\,dx.
Uma técnica útil é escrever o numerador como um múltiplo da derivada do denominador mais uma constante. Calculo a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\big(2x^{2}-7x-4\big)=4x-7.
Procuro A e B tais que
11x+4=A(4x-7)+B.
Igualando coeficientes:
4A=11\quad\Rightarrow\quad A=\frac{11}{4},
-7A+B=4\quad\Rightarrow\quad B=4+7A=4+\frac{77}{4}=\frac{93}{4}.
Logo
\frac{11x+4}{2x^{2}-7x-4}=\frac{11}{4}\cdot\frac{4x-7}{2x^{2}-7x-4}+\frac{93}{4}\cdot\frac{1}{2x^{2}-7x-4}.

Passo 4

Integro o primeiro termo obtido, que é direto porque tem a derivada do denominador:
\int \frac{11}{4}\cdot\frac{4x-7}{2x^{2}-7x-4}\,dx=\frac{11}{4}\ln\big|2x^{2}-7x-4\big|.
(Justificativa: \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C. Aqui f(x)=2x^{2}-7x-4 e f'(x)=4x-7.)

Passo 5

Falta integrar o segundo termo
\frac{93}{4}\int\frac{1}{2x^{2}-7x-4}\,dx.
Para isso é conveniente fatorar o denominador. Calculo o discriminante:
\Delta = (-7)^{2}-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81,\qquad \sqrt{\Delta}=9.
As raízes são
x=\frac{7\pm 9}{4}\Rightarrow x=4\quad\text{ou}\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
2x^{2}-7x-4=2(x-4)\big(x+\tfrac{1}{2}\big).
Reescrevo o integrando constante:
\frac{93}{4}\cdot\frac{1}{2x^{2}-7x-4}=\frac{93}{4}\cdot\frac{1}{2(x-4)(x+\tfrac{1}{2})}=\frac{93}{8}\cdot\frac{1}{(x-4)(x+\tfrac{1}{2})}.

Passo 6

Agora faço frações parciais para
\frac{1}{(x-4)(x+\tfrac{1}{2})}=\frac{\alpha}{x-4}+\frac{\beta}{x+\tfrac{1}{2}}.
Temos
1=\alpha\big(x+\tfrac{1}{2}\big)+\beta(x-4)=(\alpha+\beta)x+\big(\tfrac{\alpha}{2}-4\beta\big).
Igualando coeficientes:
\alpha+\beta=0\quad\Rightarrow\quad \beta=-\alpha,
\tfrac{\alpha}{2}-4\beta=1\quad\Rightarrow\quad \tfrac{\alpha}{2}+4\alpha=1\Rightarrow \tfrac{9}{2}\alpha=1\Rightarrow \alpha=\tfrac{2}{9},\quad \beta=-\tfrac{2}{9}.
Portanto
\frac{93}{8}\cdot\frac{1}{(x-4)(x+\tfrac{1}{2})}=\frac{93}{8}\left(\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{x-4}-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{x+\tfrac{1}{2}}\right).
Simplificando o fator:
\frac{93}{8}\cdot\frac{2}{9}=\frac{186}{72}=\frac{31}{12}.
Logo
\frac{93}{4}\cdot\frac{1}{2x^{2}-7x-4}=\frac{31}{12}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+\tfrac{1}{2}}\right).

Passo 7

Integro o resultado das frações parciais:
\frac{93}{4}\int\frac{1}{2x^{2}-7x-4}\,dx=\frac{31}{12}\left(\ln|x-4|-\ln\big|x+\tfrac{1}{2}\big|\right).

Passo 8

Juntando tudo (lembrando da integral \int 1\,dx=x do Passo 2) obtemos uma primitiva da integranda inicial:
\int \frac{2 x^{2}+4 x}{2 x^{2}-7 x-4}\,dx = x+\frac{11}{4}\ln\big|2x^{2}-7x-4\big|+\frac{31}{12}\left(\ln|x-4|-\ln\big|x+\tfrac{1}{2}\big|\right)+C.
Podemos simplificar os logaritmos porque 2x^{2}-7x-4=2(x-4)(x+\tfrac{1}{2}). Reescrevendo e absorvendo constantes em C obtemos uma forma mais simples:
\int \frac{2 x^{2}+4 x}{2 x^{2}-7 x-4}\,dx = x+\frac{16}{3}\ln|x-4|+\frac{1}{6}\ln\big|x+\tfrac{1}{2}\big|+C.
(Verificação rápida: derivando o resultado volta-se ao integrando original.)

Resposta

x+\frac{16}{3}\ln|x-4|+\frac{1}{6}\ln\big|x+\tfrac{1}{2}\big|+C

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