Calcule as seguintes integrais justificando cada passagem:
\int x^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\ln x\,dx
Informações dadas e observações importantes:
  • A função \ln x está definida apenas para x>0. Portanto a primitiva que vamos obter vale para x>0.
  • O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}\ln x.
  • A tarefa pede que cada passagem seja justificada e explicada passo a passo.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática).
  • Quando aparece um produto do tipo \text{(polinômio)}\times\text{(log)}ô é uma escolha padrão usar a técnica de integração por partes, porque derivar \ln x simplifica (vira 1/x) e integrar um polinômio é fácil.
  • Vou usar a fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivação: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\big(u(x)v(x)\big)' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integramos ambos os lados e obtemos a fórmula (aqui cada termo é explicado):
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função de x que vamos diferenciar (então du = u'(x)\,dx),
  • dv é outra parte que vamos integrar (então v é uma primitiva de dv, isto é v=\int dv).
  • Em palavras simples: escolhemos u para ser algo que fica mais simples quando derivado; escolhemos dv para algo que sabemos integrar facilmente.

Passo 3

Escolha explícita de u e dv para o nosso caso e razão prática.
  • Tomamos
u=\ln x, \qquad dv = x^{2}\,dx.
Motivo: \ln x simplifica quando derivada e x^{2} é fácil de integrar.

Passo 4

Calcular du e v a partir das escolhas.
  • Derivando u=\ln x obtemos
du = \frac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv = x^{2}\,dx pelo regra do poder (explicada abaixo) obtemos v:
    • Regra do poder para integrais: para n\neq -1,
    \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
    • Aqui n=2, logo
v=\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes e simplificar passo a passo.
  • Pela fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
substituímos u, v, du, dv:
\int x^{2}\ln x\,dx = \left(\ln x\right)\cdot\frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
  • Simplificando o integrando da segunda integral:
\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{3}.
Portanto
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{2}}{3}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral restante e obter a primitiva geral.
  • A integral restante é um múltiplo simples de \int x^{2}\,dx. Usando novamente a regra do poder:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
  • Então
\int \frac{x^{2}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}.
  • Substituindo de volta obtemos (a constante de integração C é adicionada no final)
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C.

Passo 7

Verificação rápida derivando a primitiva encontrada (checagem).
  • Seja
F(x)=\frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9}.
Derivando F usando a regra do produto para o primeiro termo e a regra do poder para o segundo:
  • Derivada de \dfrac{x^{3}}{3}\ln x:
    • derivada de \dfrac{x^{3}}{3} é x^{2},
    • então por produto: x^{2}\ln x + \dfrac{x^{3}}{3}\cdot\dfrac{1}{x} = x^{2}\ln x + \dfrac{x^{2}}{3}.
  • Derivada de -\dfrac{x^{3}}{9} é -\dfrac{3x^{2}}{9} = -\dfrac{x^{2}}{3}.
  • Somando as partes:
F'(x)=\big(x^{2}\ln x + \tfrac{x^{2}}{3}\big) - \tfrac{x^{2}}{3} = x^{2}\ln x.
  • A verificação confirma que F'(x) é exatamente o integrando, como desejado.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C

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