Calcule as seguintes integrais justificando cada passagem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações importantes:
- A função
está definida apenas para . Portanto a primitiva que vamos obter vale para . - O objetivo é encontrar uma função
tal que . - A tarefa pede que cada passagem seja justificada e explicada passo a passo.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática).
- Quando aparece um produto do tipo
é uma escolha padrão usar a técnica de integração por partes, porque derivar simplifica (vira ) e integrar um polinômio é fácil. - Vou usar a fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivação: se
e são diferenciáveis, então
Integramos ambos os lados e obtemos a fórmula (aqui cada termo é explicado):
onde:
-
é uma função de que vamos diferenciar (então ), -
é outra parte que vamos integrar (então é uma primitiva de , isto é ). - Em palavras simples: escolhemos
para ser algo que fica mais simples quando derivado; escolhemos para algo que sabemos integrar facilmente.
Passo 3
Escolha explícita de
e
para o nosso caso e razão prática.
- Tomamos
Motivo:
simplifica quando derivada e
é fácil de integrar.
Passo 4
Calcular
e
a partir das escolhas.
- Derivando
obtemos
- Integrando
pelo regra do poder (explicada abaixo) obtemos : - Regra do poder para integrais: para
,
- Aqui
, logo
- Regra do poder para integrais: para
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes e simplificar passo a passo.
- Pela fórmula
substituímos
,
,
,
:
- Simplificando o integrando da segunda integral:
Portanto
Passo 6
Calcular a integral restante e obter a primitiva geral.
- A integral restante é um múltiplo simples de
. Usando novamente a regra do poder:
- Então
- Substituindo de volta obtemos (a constante de integração
é adicionada no final)
Passo 7
Verificação rápida derivando a primitiva encontrada (checagem).
- Seja
Derivando
usando a regra do produto para o primeiro termo e a regra do poder para o segundo:
- Derivada de
: - derivada de
é , - então por produto:
.
- derivada de
- Derivada de
é . - Somando as partes:
- A verificação confirma que
é exatamente o integrando, como desejado.