Calcule as seguintes integrais justificando cada passagem:
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{5} x \, dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos^{5}x, ou seja, cosseno elevado à quinta potência.
  • Os limites de integração são 0 e \pi/2.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral e justificar cada passagem do cálculo.

Passo 2

Escolha do método (e por quê): quando a potência de seno ou cosseno é ímpar, um truque muito simples e eficiente é separar um fator \cos x (ou \sin x) e usar a identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 para trocar potências pares por expressões em \sin x (ou \cos x). Isso permite aplicar a substituição u=\sin x (ou u=\cos x) que transforma a integral numa integral de polinômio simples. Esse método é básico, rápido e completamente suficiente aqui.
Aplicando esse truque:
\cos^{5}x = \cos^{4}x\cdot\cos x = (\cos^{2}x)^{2}\cos x.
Usando a identidade \cos^{2}x=1-\sin^{2}x (derivada de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1), obtemos
\cos^{5}x = \bigl(1-\sin^{2}x\bigr)^{2}\cos x.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina a variável de substituição
u=\sin x,
então
du=\cos x\,dx.
Também trocamos os limites de integração: quando x=0 temos u=\sin 0=0; quando x=\pi/2 temos u=\sin(\pi/2)=1.
Substituindo na integral original:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{5}x\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\sin^{2}x\bigr)^{2}\cos x\,dx = \int_{0}^{1}\bigl(1-u^{2}\bigr)^{2}\,du.

Passo 4

Expandir o polinômio e integrar termo a termo. Primeiro expandimos:
\bigl(1-u^{2}\bigr)^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4}.
Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(1-u^{2}\bigr)^{2}\,du = \int_{0}^{1}\bigl(1 - 2u^{2} + u^{4}\bigr)\,du.
Integramos cada termo (a integral de u^{n} é \dfrac{u^{n+1}}{n+1}):
\int_{0}^{1}1\,du = \bigl.u\bigr|_{0}^{1}=1,
\int_{0}^{1}-2u^{2}\,du = -2\cdot\biggl(\frac{u^{3}}{3}\biggr)\biggr|_{0}^{1} = -\frac{2}{3},
\int_{0}^{1}u^{4}\,du = \biggl(\frac{u^{5}}{5}\biggr)\biggr|_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
Somando os resultados:
1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15}{15} - \frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}.

Passo 5

Comentário didático rápido para fixar: o mesmo procedimento daria, por exemplo, para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}x\,dx. Faria \cos^{3}x=(1-\sin^{2}x)\cos x, u=\sin x, integral \int_{0}^{1}(1-u^{2})du = \bigl.u-\tfrac{u^{3}}{3}\bigr|_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}. Isso mostra o padrão: para potências ímpares é sempre conveniente separar um fator \cos x (ou \sin x) e usar u=\sin x (ou u=\cos x).

Resposta

\dfrac{8}{15}

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