Calcule a seguinte integral por:
(d) Método de frações parciais.
integral x^3-7 x^2+12 x-4x^2-7 x+12 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^3-7x^2+12x-4x^2-7x+12,dx usando o método de frações parciais. Vamos precisar primeiro fazer divisão polinomial para reduzir o grau do numerador, depois decompor a parte restante em frações simples e, por fim, integrar termo a termo.

Passo 2

Como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), fazemos a divisão de x^3-7x^2+12x-4 por x^2-7x+12:
x^3-7x^2+12x-4x^2-7x+12=x+-4x^2-7x+12

Passo 3

Observando que x^2-7x+12=(x-3)(x-4), escrevemos a fração própria em parciais:
-4(x-3)(x-4)=Ax-3+Bx-4
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x-4) temos:
-4=A(x-4)+B(x-3)
Fazendo x=3 -4=A( -1) então A=4.
Fazendo x=4 -4=B(1) então B=-4.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral x^3-7x^2+12x-4x^2-7x+12,dx=integral l(x+4x-3-4x-4r)dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral x,dx=x^22,
4integral dxx-3=4ln|x-3|,
-4integral dxx-4=-4ln|x-4|
Somando tudo e adicionando a constante C, obtemos a resposta final.

Resposta

x^22+4ln|x-3|-4ln|x-4|+C

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