Calcule a seguinte integral por:
© Método de Substiuição trigonométricas
integral 1(a^2+x^2)^5 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1(a^2 + x^2)^5/2,dx usando substituição trigonométrica. Esse é um caso de integração de funções envolvendo radicais, e vamos precisar do chute x = atantheta e da identidade 1 + tan^2theta = sec^2theta.

Passo 2

Fazendo a troca x = atantheta e dx = asec^2theta,dtheta, o denominador vira (a^2 + x^2)^5/2 = (a^2sec^2theta)^5/2 = a^5sec^5theta. Logo a integral fica
integral 1(a^2 + x^2)^5/2,dx = integral asec^2thetaa^5sec^5theta,dtheta = 1a^4integral cos^3theta,dtheta

Passo 3

Para integralcos^3theta,dtheta, usamos cos^2theta = 1 - sin^2theta e colocamos u = sintheta, du = costheta,dtheta. Assim:
integral cos^3theta,dtheta = integral (1 - sin^2theta)costheta,dtheta = integral (1 - u^2),du = u - u^33 + C = sintheta - sin^3theta3 + C
Logo a integral original é
1a^4l(sintheta - tfracsin^3theta3r) + C

Passo 4

Voltando para x: de x = atantheta temos hipotenusa raiza^2 + x^2, então
sintheta = xraiza^2 + x^2, sin^3theta = x^3(a^2 + x^2)^3/2
Substituindo e simplificando frações:
1a^4l(xraiza^2+x^2 - 13x^3(a^2+x^2)^3/2r) = x,(2x^2 + 3a^2)3a^4,(a^2+x^2)^3/2 + C

Resposta

x,(2x^2 + 3a^2)3a^4,(a^2 + x^2)^3/2 + C

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