Calcule a seguinte integral por:
(d) Método de frações parciais.
integral 2 x-6x^3-4 x^2+3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral2x-6x^3-4x^2+3x,dx usando o método de frações parciais, que é um tema de integração de funções racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a função em somas de frações simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Observamos que
x^3-4x^2+3x = x,(x^2 -4x+3) = x,(x-1),(x-3)

Passo 3

No método de frações parciais, escrevemos
2x-6x(x-1)(x-3) = Ax + Bx-1 + Cx-3,
onde A, B e C são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x-3), temos
2x-6 = A(x-1)(x-3) + B,x(x-3) + C,x(x-1)

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando termos em potências de x, chegamos a um sistema:
A+B+C=0, -4A -3B - C=2, 3A=-6

Passo 5

Da última equação vem A=-2. Substituindo em A+B+C=0 B+C=2, e em -4A-3B-C=2 8-3B-C=2 ou 3B+C=6. Resolvendo esse sistema, obtemos B=2 e C=0.

Passo 6

Assim a integral fica
integral2x-6x^3-4x^2+3x,dx = integrall(-2x + 2x-1r)dx

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integral -2x,dx = -2ln|x| + C1,
integral 2x-1,dx = 2ln|x-1| + C2

Passo 8

Somando e agrupando a constante geral, obtemos a antiderivada final.

Resposta

-2ln|x| + 2ln|x-1| + C

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