Calcule a seguinte integral por:
(a) Substituição simples.
integral x^2 e^-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^2 e^-2x,dx usando substituição simples, aplicando depois integração por partes quando necessário.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=-2x. Então du=-2,dx, ou seja, dx=-tfrac12,du.

Passo 3

Como x=-tfracu2, temos x^2=tfracu^24. Substituindo na integral:
integral x^2e^-2x,dx= integral u^24e^ul(-12dur) =-18integral u^2e^u,du

Passo 4

Para calcular integral u^2e^u,du, usamos integração por partes, cuja fórmula é integral A,dB=A,B-integral B,dA. Aqui escolhemos
A=u^2, dB=e^udu
portanto
dA=2u,du, B=e^u
Então
integral u^2e^u,du=u^2e^u-integral 2u e^u,du

Passo 5

Precisamos agora de integral 2u e^u,du. Aplicamos outra vez partes em integral u e^udu com
A=u, dB=e^udu
resultando em
dA=du, B=e^u. Assim:
integral u e^udu=u e^u-integral e^udu=u e^u-e^u
Logo
integral 2u e^udu=2l(u e^u-e^ur)=2u e^u-2e^u
Substituindo de volta:
integral u^2e^udu=u^2e^u-l(2u e^u-2e^ur)=e^u(u^2-2u+2)

Passo 6

Voltando à variável original u=-2x em
$ -\tfrac{1}{8}\int u{2}e{u}du=-\tfrac{1}{8}e{u}(u{2}-2u+2)+C$:
-tfrac18integral u^2e^udu=-tfrac18e^u(u^2-2u+2)+C
Simplificando o polinômio
integral x^2e^-2xdx=-18e^-2xl((-2x)^2-2(-2x)+2r)+C=-4x^2+4x+28e^-2x+C
resulta em
$ -\tfrac{x{2}+x+\tfrac12}{2}e{-2x}+C.$

Passo 7

Resposta

-tfracx^2+x+tfrac122e^-2x+C

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