Calcule a seguinte integral por:
© Método de Substiuição trigonométricas
© Método de Substiuição trigonométricas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
usando o Método de Substituição Trigonométrica. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente nas técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas para simplificar expressões mais complicadas. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e como fazer substituições que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que sugere o uso da substituição trigonométrica. Observamos a expressão
, que se assemelha à forma
. Nesse caso, uma boa substituição é usar funções trigonométricas que se encaixam nesse padrão. Vamos assumir que
.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados:
Agora, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Simplificando, percebemos que tudo cancela:
Passo 6
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora precisamos voltar para a variável original,
. Lembrando que fizemos a substituição
, então
e, portanto,
.
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão, temos:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.