Calcule a seguinte integral por:
© Método de Substiuição trigonométricas
integral 1x raizx^2-a^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral 1x raizx^2-a^2 , dx usando o Método de Substituição Trigonométrica. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente nas técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas para simplificar expressões mais complicadas. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e como fazer substituições que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que sugere o uso da substituição trigonométrica. Observamos a expressão raizx^2 - a^2, que se assemelha à forma raizu^2 - a^2. Nesse caso, uma boa substituição é usar funções trigonométricas que se encaixam nesse padrão. Vamos assumir que x = a sec(theta).

Passo 3

Com a substituição x = a sec(theta), precisamos encontrar dx em termos de dtheta. Derivando ambos os lados:
dx = a sec(theta) tan(theta) , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 1a sec(theta) raiz(a sec(theta))^2 - a^2 cdot a sec(theta) tan(theta) , dtheta
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiza^2 sec^2(theta) - a^2 = raiza^2 (sec^2(theta) - 1) = raiza^2 tan^2(theta) = a tan(theta)

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 1a sec(theta) cdot a tan(theta) cdot a sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral 1a sec(theta) cdot a tan(theta) cdot a sec(theta) tan(theta) , dtheta
Simplificando, percebemos que tudo cancela:
integral 1a sec(theta) cdot a tan(theta) cdot a sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral 1a^2 sec(theta) tan(theta) cdot a sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral 1a , dtheta

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral 1a , dtheta = 1a theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora precisamos voltar para a variável original, x. Lembrando que fizemos a substituição x = a sec(theta), então sec(theta) = xa e, portanto, theta = sec^-1(xa).

Passo 8

Substituindo theta de volta na expressão, temos:
1a theta + C = 1a sec^-1(xa) + C

Resposta

A integral é igual a 1a sec^-1(xa) + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados