Calcule a seguinte integral por:
(a) Substituição simples.
integral 1-x^31-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 1 - x^31 - x ,dx usando substituição simples. O conteúdo envolvido é integração por substituição (u-substituição) aplicada a uma função racional; vamos precisar escolher uma substituição adequada e reescrever toda a integral em termos de u.

Passo 2

Escolhemos u = 1 - x. Então du = -,dx, ou seja, dx = -,du. Além disso, x = 1 - u, logo x^3 = (1 - u)^3.

Passo 3

Substituindo na integral original temos
integral 1 - x^31 - x ,dx = integral 1 - (1 - u)^3u l(-dur)
Agora expandimos
(1 - u)^3 = 1 - 3u + 3u^2 - u^3,
aí o numerador fica
1 - (1 - u)^3 = 3u - 3u^2 + u^3
Então a integral vira
-integral 3u - 3u^2 + u^3u ,du = -integral (3 - 3u + u^2) ,du = integral (-3 + 3u - u^2) ,du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral (-3 + 3u - u^2) ,du = -3u + 32u^2 - 13u^3 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u = 1 - x:
-3(1 - x) + 32(1 - x)^2 - 13(1 - x)^3 + C,
o que, ao desenvolver e simplificar, resulta em
x + x^22 + x^33 + C

Resposta

x + x^22 + x^33 + C

Exercícios relacionados