Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções
, tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida.
.
Passo 1
O enunciado pede a representação em série de potências de
f(x)=∫₀ˣ cos(πt²/2) dt, usando o conteúdo de desenvolvimento em série de Taylor e integração termo a termo.
f(x)=∫₀ˣ cos(πt²/2) dt, usando o conteúdo de desenvolvimento em série de Taylor e integração termo a termo.
Passo 2
Sabendo que a função coseno tem expansão de Taylor centrada em zero, temos:
Passo 3
No nosso caso, fazemos a troca de variável u=πt²/2. Logo,
Passo 4
Como queremos f(x)=∫₀ˣ cos(πt²/2) dt, integramos a série termo a termo (válido dentro do raio de convergência da série de cos):
Passo 5
O integral de t^{4n} de 0 a x é x^{4n+1}/(4n+1). Portanto,
Passo 6
Para determinar o intervalo de validade, aplicamos o teste da razão em termos gerais. Observamos que, para grandes n, o fator n! cresce muito mais rápido que qualquer potência de x, e fica claro que o raio de convergência é infinito. Logo, a série converge para todo x real.
Passo 7
Portanto, a representação em série de potências de f(x) é a série acima, válida no maior intervalo aberto (-∞,∞).