Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções f, tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida.
f(x)=integral0^x cos (pi t^22) d t.

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências de
f(x)=∫₀ˣ cos(πt²/2) dt, usando o conteúdo de desenvolvimento em série de Taylor e integração termo a termo.

Passo 2

Sabendo que a função coseno tem expansão de Taylor centrada em zero, temos:
cos(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n(2n)!

Passo 3

No nosso caso, fazemos a troca de variável u=πt²/2. Logo,
cosl(tfracpi t^22r)=sumn=0^infty(-1)^n(tfracpi t^22)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^npi^2n2^2n(2n)!,t^4n

Passo 4

Como queremos f(x)=∫₀ˣ cos(πt²/2) dt, integramos a série termo a termo (válido dentro do raio de convergência da série de cos):
f(x)=integral0^xsumn=0^infty(-1)^npi^2n2^2n(2n)!t^4n,dt =sumn=0^infty(-1)^npi^2n2^2n(2n)!integral0^xt^4n,dt

Passo 5

O integral de t^{4n} de 0 a x é x^{4n+1}/(4n+1). Portanto,
f(x)=sumn=0^infty(-1)^npi^2n2^2n(2n)!(4n+1),x^4n+1

Passo 6

Para determinar o intervalo de validade, aplicamos o teste da razão em termos gerais. Observamos que, para grandes n, o fator n! cresce muito mais rápido que qualquer potência de x, e fica claro que o raio de convergência é infinito. Logo, a série converge para todo x real.

Passo 7

Portanto, a representação em série de potências de f(x) é a série acima, válida no maior intervalo aberto (-∞,∞).

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^npi^2n2^2n(2n)!(4n+1),x^4n+1, xin(-infty,infty)

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