Calcule a seguinte integral por:
(d) Método de frações parciais.
integral 1a^2-x^2 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular integral1a^2 - x^2,dx usando o método de frações parciais. Esse método consiste em decompor a função racional em somas de parcelas mais simples, cujas primitivas são conhecidas.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e montamos a decomposição em frações parciais. Sabendo que
a^2 - x^2 = (a - x)(a + x),
supomos que
1a^2 - x^2 = Aa + x + Ba - x

Passo 3

Agora determinamos os coeficientes A e B. Multiplicando ambos os lados por (a+x)(a-x), obtemos
1 = A(a - x) + B(a + x)

Passo 4

Para achar A e B, fazemos substituições convenientes:
  • Se x = a, então 1 = B(2a) e B = tfrac12a.
  • Se x = -a, então 1 = A(2a) e A = tfrac12a.
    Logo,
1a^2 - x^2 = 12al(1a + x + 1a - xr)

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral1a + x,dx = ln|a + x| + C1,
integral1a - x,dx = -ln|a - x| + C2
Portanto,
integral1a^2 - x^2,dx = 12al(ln|a + x| - ln|a - x|r) + C

Resposta

12alnl|a+xa-xr| + C

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