Calcule a seguinte integral:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente usando frações parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em duas frações menores. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações com denominadores menores, tipo:
Aqui,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores
para eliminar as frações:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação. Primeiro, vamos deixar
:
Em seguida, escolhemos
:
Então, temos
e
.
Passo 4
Agora que já encontramos
e
, podemos reescrever a integral original usando essas frações parciais:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
é
, então:
Juntando tudo e adicionando a constante de integração
:
Resposta
A integral
é igual a: