Calcule a seguinte integral:
(1,3 pt) integral 1(x+4)(x-1) d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral integral 1(x+4)(x-1) , dx. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente usando frações parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1(x+4)(x-1) em duas frações menores. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações com denominadores menores, tipo:
1(x+4)(x-1) = Ax+4 + Bx-1
Aqui, A e B são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores (x+4)(x-1) para eliminar as frações:
1 = A(x - 1) + B(x + 4)
Agora, escolhemos valores de x que simplificam a equação. Primeiro, vamos deixar x = 1:
1 = A(1 - 1) + B(1 + 4) 1 = 0 + 5B B = 15
Em seguida, escolhemos x = -4:
1 = A(-4 - 1) + B(-4 + 4) 1 = A(-5) + 0 A = -15
Então, temos A = -15 e B = 15.

Passo 4

Agora que já encontramos A e B, podemos reescrever a integral original usando essas frações parciais:
integral 1(x+4)(x-1) , dx = integral ( -15x+4 + 15x-1 ) dx
Simplificando os coeficientes:
= -15 integral 1x+4 , dx + 15 integral 1x-1 , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1x+a é ln|x+a|, então:
-15 integral 1x+4 , dx = -15 ln|x+4|
15 integral 1x-1 , dx = 15 ln|x-1|
Juntando tudo e adicionando a constante de integração C:
-15 ln|x+4| + 15 ln|x-1| + C

Resposta

A integral integral 1(x+4)(x-1) , dx é igual a:
15 ln|x-1| - 15 ln|x+4| + C

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