Calcule a seguinte integral:
(1,2 pt) integral0^4|raizx-1| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^4 |raizx - 1| , dx. O que a gente precisa aqui é entender um pouco sobre integrais e valor absoluto. A ideia é dividir a integral em partes onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde raizx - 1 = 0. Isso vai nos ajudar a saber onde a função dentro do valor absoluto muda de positiva para negativa ou vice-versa.
raizx - 1 = 0 implies raizx = 1 implies x = 1
Então, o ponto crítico é x = 1.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 a 4. Isso porque, de 0 a 1, raizx - 1 é negativo, e de 1 a 4 é positivo.

Passo 4

Vamos reescrever a integral sem o valor absoluto, considerando os sinais nas duas partes:
integral0^4 |raizx - 1| , dx = integral0^1 (1 - raizx) , dx + integral1^4 (raizx - 1) , dx

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral integral0^1 (1 - raizx) , dx:
integral (1 - raizx) , dx = integral 1 , dx - integral x^1/2 , dx = x - 23x^3/2
Avaliado de 0 a 1:
[1 - 23(1)^3/2] - [0 - 0] = 1 - 23 = 13

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral integral1^4 (raizx - 1) , dx:
integral (raizx - 1) , dx = integral x^1/2 , dx - integral 1 , dx = 23x^3/2 - x
Avaliado de 1 a 4:
[23(4)^3/2 - 4] - [23(1)^3/2 - 1] = [23(8) - 4] - [23 - 1] = [163 - 4] - [-13] = 43 + 13 = 53

Passo 7

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
13 + 53 = 63 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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