Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções
, tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida.
.
Passo 1
Estamos com a função
e queremos escrever f(x) como série de potências e achar o maior intervalo aberto em que a série converge. Vamos usar expansão em série de
e integrar termo a termo.
Passo 2
Recordando a série de Taylor de
em torno de
:
válida para todo
.
Passo 3
No nosso caso, tomamos
. Assim:
Passo 4
Agora integramos termo a termo de
a
, o que é permitido pois a série de
tem raio de convergência infinito. Para cada termo:
Logo,
Passo 5
Por fim, como a expansão de
converge para todo
, a série acima também converge para todo
. O maior intervalo aberto de validade é
.