Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções f, tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida.
f(x)=integral0^x sin (pi t^22) d t.

Passo 1

Estamos com a função
f(x)=integral0^xsinl(pi t^22r),dt
e queremos escrever f(x) como série de potências e achar o maior intervalo aberto em que a série converge. Vamos usar expansão em série de sin e integrar termo a termo.

Passo 2

Recordando a série de Taylor de sin(u) em torno de u=0:
sin(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+1(2n+1)!,
válida para todo uinR.

Passo 3

No nosso caso, tomamos u=pi t^22. Assim:
sinl(tfracpi t^22r)=sumn=0^infty(-1)^nl(tfracpi t^22r)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^n(pi/2)^2n+1(2n+1)!,t^4n+2

Passo 4

Agora integramos termo a termo de t=0 a t=x, o que é permitido pois a série de sin(u) tem raio de convergência infinito. Para cada termo:
integral0^xt^4n+2,dt=x^4n+34n+3
Logo,
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n(pi/2)^2n+1(2n+1)!,x^4n+34n+3

Passo 5

Por fim, como a expansão de sin(u) converge para todo u, a série acima também converge para todo x. O maior intervalo aberto de validade é (-infty,infty).

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^n(pi/2)^2n+1(2n+1)!,(4n+3);x^4n+3, xin(-infty,infty)

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