Calcule a seguinte integral por:
(a) Substituição simples.
integral e^2 x2-4 e^2 x d x

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular a integral integral e^2x2-4e^2x,dx usando a técnica de substituição simples, pois o numerador é proporcional à derivada do denominador.

Passo 2

Observamos que a derivada de 2-4e^2x é -8e^2x. Definimos então a substituição
$$\nu = 2 - 4e^{2x},
nu = 2 - 4e^2x,
du = -8e^{2x},dx
du = -8e^2x,dx
e^{2x},dx = -\tfrac{1}{8},du.
$$

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral e^2x2-4e^2x,dx = integral 1nu l(-tfrac18,dur) = -tfrac18 integral dunu
Sabendo que integral dunu = ln|nu| + C, obtemos
-tfrac18 ln|nu| + C

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos nu = 2-4e^2x. Assim, a solução final é
-\tfrac{1}{8} \ln\bigl|2 - 4e^{2x}\bigr| + C

Resposta

-\tfrac{1}{8} \ln\bigl|2 - 4e^{2x}\bigr| + C

Exercícios relacionados