In each of Problems 7 through 12 find the Laplace transform of the given function.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função $ f(t) $ que é definida assim:
Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, especialmente lidando com funções que têm “deslocamento” no tempo.
Passo 2
Primeiro, lembra que a Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
Mas, como $ f(t) $ é zero antes de $ t = 2 $, a gente pode ajustar os limites da integral para começar em 2.
Passo 3
Vamos reescrever a transformada considerando que $ f(t) = 0 $ para $ t < 2 $:
Agora, pra facilitar, vamos fazer uma substituição: seja $ \tau = t - 2 $. Então, quando $ t = 2 $, $ \tau = 0 $, e quando $ t \to \infty $, $ \tau \to \infty $.
Passo 4
Com a substituição $ \tau = t - 2 $, temos $ t = \tau + 2 $ e $ dt = d\tau $. Substituindo na integral:
Note que fatoramos $ e^{-2s} $ pois é constante em relação a $ \tau $.
Passo 5
Agora, precisamos lembrar da Transformada de Laplace de $ \tau^n $, que é:
No nosso caso, $ n = 2 $, então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Resposta
A Transformada de Laplace da função $ f(t) $ é: