In each of Problems 7 through 12 find the Laplace transform of the given function.
f(t)=ll0, & t<2 (t-2)^2, & t >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função $ f(t) $ que é definida assim:
f(t)
Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, especialmente lidando com funções que têm “deslocamento” no tempo.

Passo 2

Primeiro, lembra que a Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Mas, como $ f(t) $ é zero antes de $ t = 2 $, a gente pode ajustar os limites da integral para começar em 2.

Passo 3

Vamos reescrever a transformada considerando que $ f(t) = 0 $ para $ t < 2 $:
f(t) = 0
Agora, pra facilitar, vamos fazer uma substituição: seja $ \tau = t - 2 $. Então, quando $ t = 2 $, $ \tau = 0 $, e quando $ t \to \infty $, $ \tau \to \infty $.

Passo 4

Com a substituição $ \tau = t - 2 $, temos $ t = \tau + 2 $ e $ dt = d\tau $. Substituindo na integral:
tau = t - 2
Note que fatoramos $ e^{-2s} $ pois é constante em relação a $ \tau $.

Passo 5

Agora, precisamos lembrar da Transformada de Laplace de $ \tau^n $, que é:
tau^n
No nosso caso, $ n = 2 $, então:
Ltau^n = n!s^n+1

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
Lf(t) = e^-2s cdot 2s^3 = 2 e^-2ss^3

Resposta

A Transformada de Laplace da função $ f(t) $ é:
f(t)

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