Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções
, tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida.
.
Passo 1
Enunciado resumido: queremos desenvolver em série de potências a função
ao redor de zero. O conteúdo envolvido é séries de potências (Maclaurin) e vamos usar a série geométrica e derivação termo a termo.
Passo 2
Para iniciar, lembramos que para
vale a série geométrica
Substituindo
Passo 3
Note que
Como podemos derivar termo a termo a série anterior, temos
Passo 4
O termo correspondente a
é zero, então reindexamos a soma para começar em
. Assim,
Passo 5
O raio de convergência segue de
, ou seja,
. Dessa forma, o maior intervalo aberto de validade é
.