Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções f, tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida.
f(x)=-2 x(1+x^2)^2.

Passo 1

Enunciado resumido: queremos desenvolver em série de potências a função f(x)=-2x(1+x^2)^2 ao redor de zero. O conteúdo envolvido é séries de potências (Maclaurin) e vamos usar a série geométrica e derivação termo a termo.

Passo 2

Para iniciar, lembramos que para |u|<1 vale a série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
Substituindo u=x^2, obtemos
11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2n

Passo 3

Note que
f(x)=-2x(1+x^2)^2=ddxl(11+x^2r)
Como podemos derivar termo a termo a série anterior, temos
ddxl(sumn=0^infty(-1)^n x^2nr)=sumn=0^infty(-1)^n,2n,x^2n-1

Passo 4

O termo correspondente a n=0 é zero, então reindexamos a soma para começar em n=1. Assim,
f(x)=sumn=1^infty2n(-1)^n x^2n-1

Passo 5

O raio de convergência segue de |x^2|<1, ou seja, |x|<1. Dessa forma, o maior intervalo aberto de validade é (-1,1).

Resposta

f(x)=sumn=1^infty2n(-1)^n x^2n-1, -1

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