In each of Problems 7 through 12 find the Laplace transform of the given function.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em partes: f(t)=0 para t<1 e f(t)=t^2−2t+2 para t≥1. O conteúdo é Transformada de Laplace de Laplace de funções descontínuas e uso da função degrau unitário, além das transformadas de polinômios.
Passo 2
Escrevemos f(t) em termos da função degrau unitário u(t−1):
Passo 3
Fazemos a mudança de variável τ = t−1. Para t≥1 temos t = τ+1, então
Logo podemos ver f(t) como o deslocamento de g(τ)=τ^2+1 multiplicado por u(τ).
Passo 4
Aplicamos a propriedade de deslocamento da Laplace: se g(t−a)u(t−a) tem transformada e^{-as}G(s), então com a=1 e G(s)=Laplace{τ^2+1} temos
Passo 5
Calculamos agora a parte sem deslocamento usando transformadas padrão:
Passo 6
Por fim, introduzimos o fator e^{-s}: