In each of Problems 7 through 12 find the Laplace transform of the given function.
f(t)=ll0, & t<1 t^2-2 t+2, & t >= 1

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em partes: f(t)=0 para t<1 e f(t)=t^2−2t+2 para t≥1. O conteúdo é Transformada de Laplace de Laplace de funções descontínuas e uso da função degrau unitário, além das transformadas de polinômios.

Passo 2

Escrevemos f(t) em termos da função degrau unitário u(t−1):
f(t) = (t^2 - 2t + 2) ,u(t-1), onde u(t−1)=0 para t<1 e 1 para t≥1.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável τ = t−1. Para t≥1 temos t = τ+1, então (t^2 - 2t + 2) = (tau+1)^2 - 2(tau+1) + 2 = tau^2 + 1 Logo podemos ver f(t) como o deslocamento de g(τ)=τ^2+1 multiplicado por u(τ).

Passo 4

Aplicamos a propriedade de deslocamento da Laplace: se g(t−a)u(t−a) tem transformada e^{-as}G(s), então com a=1 e G(s)=Laplace{τ^2+1} temos
Lf(t) = e^-s ;Ltau^2+1

Passo 5

Calculamos agora a parte sem deslocamento usando transformadas padrão:
Ltau^2 = 2s^3, L1 = 1s Somando essas duas:
Ltau^2+1 = 2s^3 + 1s

Passo 6

Por fim, introduzimos o fator e^{-s}:
Lf(t) = e^-sl(2s^3 + 1sr) = e^-s(2 + s^2)s^3

Resposta

e^-s(2 + s^2)s^3

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