Calcule a seguinte integral tripla.
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede pra calcular uma integral tripla da função f(x,y,z)=1/(x^2+y^2+z^2) sobre a região dada por 0<= y<=2, 0<= x<=raiz4-y^2 e 0<= z<=raiz4-x^2-y^2. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas e entender o jacobiano pra trocar a ordem de integração.

Passo 2

A região de integração é justamente o primeiro octante da esfera de raio 2 (ou seja, x,y,z>=0 e x^2+y^2+z^2<=4). Reconhecer isso nos ajuda a escolher limites simples em esféricas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas a gente define
x=r,sinphi,costheta, y=r,sinphi,sintheta, z=r,cosphi,
e o elemento de volume fica
dV=r^2,sinphi,dr,dphi,dtheta
O integrando 1/(x^2+y^2+z^2) vira 1/r^2.

Passo 4

Substituindo na integral e separando as variáveis, a integral tripla se torna
integraltheta=0^pi/2integralphi=0^pi/2integralr=0^2 1r^2,r^2,sinphi,dr,dphi,dtheta = l(integraltheta=0^pi/2dthetar)l(integralphi=0^pi/2sinphi,dphir)l(integralr=0^2drr)
Agora é moleza:
  • integral0^pi/2dtheta=pi/2.
  • integral0^pi/2sinphi,dphi=[-cosphi]0^pi/2=1.
  • integral0^2dr=2.

Passo 5

Multiplicando tudo: (pi/2)times1times2=pi.

Resposta

pi

Exercícios relacionados