Calcule a seguinte integral tripla.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular uma integral tripla da função
sobre a região dada por
,
e
. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas e entender o jacobiano pra trocar a ordem de integração.
Passo 2
A região de integração é justamente o primeiro octante da esfera de raio 2 (ou seja,
e
). Reconhecer isso nos ajuda a escolher limites simples em esféricas.
Passo 3
Em coordenadas esféricas a gente define
e o elemento de volume fica
O integrando
vira
.
Passo 4
Substituindo na integral e separando as variáveis, a integral tripla se torna
Agora é moleza:
-
. -
. -
.
Passo 5
Multiplicando tudo:
.