Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = -x^{2} -10x -28 $ no ponto onde $ x = -1 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ f(-1) $ para saber o ponto exato no gráfico onde a reta tangente vai tocar a função. Substituindo $ x = -1 $ na função:
Passo 3
Calculando os termos:
Então, o ponto de tangência é $ (-1, -19) $.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A derivada de $ f(x) = -x^{2} -10x -28 $ é:
Passo 5
Calculando cada termo da derivada:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto $ x = -1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -8 $.
Passo 7
Com a inclinação $ m = -8 $ e o ponto de tangência $ (-1, -19) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 8
Simplificando a equação:
Distribuindo o $ -8 $:
Subtraindo 19 de ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = -8x -27 $. A opção correta é a letra c. $ y=-8x-27 $.