Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=-x^2-10 x-28 no ponto de abscissa x=-1.
Escolha uma opção:
a. y=-8 x-18
b. y=4 x+21
c. y=-8 x-27
d. y=4 x-21
e. y=-3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = -x^{2} -10x -28 $ no ponto onde $ x = -1 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ f(-1) $ para saber o ponto exato no gráfico onde a reta tangente vai tocar a função. Substituindo $ x = -1 $ na função:
f(-1)

Passo 3

Calculando os termos:
f(-1) = -1 +10 -28 = -19
Então, o ponto de tangência é $ (-1, -19) $.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A derivada de $ f(x) = -x^{2} -10x -28 $ é:
f(x)

Passo 5

Calculando cada termo da derivada:
f'(x) = -2x -10 +0 = -2x -10

Passo 6

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto $ x = -1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
x = -1
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -8 $.

Passo 7

Com a inclinação $ m = -8 $ e o ponto de tangência $ (-1, -19) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
m = -8
Substituindo os valores:
(-1, -19)

Passo 8

Simplificando a equação:
y + 19 = -8(x + 1)
Distribuindo o $ -8 $:
-8
Subtraindo 19 de ambos os lados:
y + 19 = -8x -8
y = -8x -8 -19

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = -8x -27 $. A opção correta é a letra c. $ y=-8x-27 $.

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