Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não exista, justifique.
lim x 0^+ x^2 cos (1x^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0^+ x^2cosl(1/x^2r). O conteúdo aqui é limites de funções e vamos precisar usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Sabemos que a função cosseno é sempre entre -1 e 1. Logo, para todo xneq0 vale
-1 <= cosl(1/x^2r) <= 1

Passo 3

Multiplicando essa desigualdade por x^2, que é positivo quando xto0^+, obtemos
-x^2 <= x^2cosl(1/x^2r) <= x^2

Passo 4

Agora observamos os limites das funções que “prendem” x^2cos(1/x^2):
limxto0^+ (-x^2) = 0
limxto0^+ x^2 = 0
Como ambas as funções-limites tendem a 0 e x^2cos(1/x^2) fica sempre entre elas, pelo Teorema do Confronto concluímos que o limite pedido existe e é 0.

Resposta

0

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