Calcule a seguinte integral utilizando o método da decomposição em frações parciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando o método da decomposição em frações parciais. Informações dadas e observações iniciais:
o denominador está fatorado em três fatores lineares distintos
.\n
A integral pede uma primitiva (antiderivada) da função racional indicada.
A integral pede uma primitiva (antiderivada) da função racional indicada.
Passo 2
Ideia do método e verificação de condição: para decompor em frações parciais precisamos que a função racional seja própria, isto é, o grau do numerador menor que o grau do denominador. Aqui o grau do numerador é
e o do denominador é
, então já é própria e podemos escrever a decomposição na forma
onde
são constantes desconhecidas. Explicando porquê: cada fator linear simples no denominador dá origem a uma fração com numerador constante. Agora vamos achar
.
Passo 3
Determinação das constantes: multiplico a identidade acima pelo denominador
para obter uma identidade polinomial:
Uma maneira eficiente de encontrar
é avaliar essa igualdade em valores de
que anulem os fatores do lado direito.
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Passo 4
Escrevo a decomposição com os coeficientes encontrados:
Para ficar mais limpo:
Passo 5
Integro termo a termo. Lembrete importante (mini-aula rápida): a primitiva de
é
, porque
. Portanto, multiplicando por uma constante
, temos
.
Aplicando isso aos três termos:
Opcionalmente podemos colocar os coeficientes sobre um denominador comum
:
então outra forma é
Passo 6
Verificação rápida (cheque mental): derivando a expressão obtida volta-se ao integrando porque a derivada de
é
e os coeficientes coincidem com a decomposição. Assim a primitiva está correta. Força aí — tá feito!