Calcule a seguinte integral utilizando o método da decomposição em frações parciais: \int \frac{x+2}{(x-1)(x-2)(x-5)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+2}{(x-1)(x-2)(x-5)}\,dx
usando o método da decomposição em frações parciais. Informações dadas e observações iniciais:
\text{numerador: } x+2,\qquad \text{denominador: }(x-1)(x-2)(x-5),
o denominador está fatorado em três fatores lineares distintos \,x-1,\;x-2,\;x-5.\n
A integral pede uma primitiva (antiderivada) da função racional indicada.

Passo 2

Ideia do método e verificação de condição: para decompor em frações parciais precisamos que a função racional seja própria, isto é, o grau do numerador menor que o grau do denominador. Aqui o grau do numerador é \,1 e o do denominador é \,3, então já é própria e podemos escrever a decomposição na forma
\frac{x+2}{(x-1)(x-2)(x-5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-5},
onde A,B,C são constantes desconhecidas. Explicando porquê: cada fator linear simples no denominador dá origem a uma fração com numerador constante. Agora vamos achar A,B,C.

Passo 3

Determinação das constantes: multiplico a identidade acima pelo denominador (x-1)(x-2)(x-5) para obter uma identidade polinomial:
x+2 = A(x-2)(x-5)+B(x-1)(x-5)+C(x-1)(x-2).
Uma maneira eficiente de encontrar A,B,C é avaliar essa igualdade em valores de x que anulem os fatores do lado direito.
Avaliar em x=1:
1+2=3 = A(1-2)(1-5)=A(-1)(-4)=4A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{4}.
Avaliar em x=2:
2+2=4 = B(2-1)(2-5)=B(1)(-3)=-3B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{4}{3}.
Avaliar em x=5:
5+2=7 = C(5-1)(5-2)=C(4)(3)=12C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{7}{12}.

Passo 4

Escrevo a decomposição com os coeficientes encontrados:
\frac{x+2}{(x-1)(x-2)(x-5)}=\frac{\tfrac{3}{4}}{x-1}+\frac{-\tfrac{4}{3}}{x-2}+\frac{\tfrac{7}{12}}{x-5}.
Para ficar mais limpo:
\frac{x+2}{(x-1)(x-2)(x-5)}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{7}{12}\cdot\frac{1}{x-5}.

Passo 5

Integro termo a termo. Lembrete importante (mini-aula rápida): a primitiva de \frac{1}{x-a} é \ln|x-a|, porque \frac{d}{dx}\ln|x-a|=\frac{1}{x-a}. Portanto, multiplicando por uma constante k, temos \int k\frac{1}{x-a}\,dx=k\ln|x-a|+C.
Aplicando isso aos três termos:
\int \frac{x+2}{(x-1)(x-2)(x-5)}\,dx =\frac{3}{4}\ln|x-1|-\frac{4}{3}\ln|x-2|+\frac{7}{12}\ln|x-5|+C.
Opcionalmente podemos colocar os coeficientes sobre um denominador comum \,12:
\frac{3}{4}=\frac{9}{12},\quad -\frac{4}{3}=-\frac{16}{12},\quad \frac{7}{12}=\frac{7}{12},
então outra forma é
\frac{1}{12}\big(9\ln|x-1|-16\ln|x-2|+7\ln|x-5|\big)+C.

Passo 6

Verificação rápida (cheque mental): derivando a expressão obtida volta-se ao integrando porque a derivada de \ln|x-a| é \frac{1}{x-a} e os coeficientes coincidem com a decomposição. Assim a primitiva está correta. Força aí — tá feito!

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}\ln|x-1|-\frac{4}{3}\ln|x-2|+\frac{7}{12}\ln|x-5|+C

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