Resolva utilizando o método da decomposição em frações parciais:
\frac{x^{2}-x+7}{(x-2)(x-3)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
\frac{x^{2}-x+7}{(x-2)(x-3)^{2}}.
Informações importantes dadas:
  • O numerador é \,x^{2}-x+7.
  • O denominador é (x-2)(x-3)^{2}, que tem um fator linear simples em x=2 e um fator linear repetido de multiplicidade 2 em x=3.
  • Não há mais informações externas; precisamos escrever a fração como soma de frações parciais e determinar as constantes.

Passo 2

Regra prática (explicação didática): quando o denominador tem fatores lineares distintos e também fatores repetidos, a decomposição tem termos para cada potência do fator repetido até sua multiplicidade. Aqui temos um fator (x-2) simples e um fator (x-3)^{2} repetido, portanto a forma geral da decomposição é
\frac{x^{2}-x+7}{(x-2)(x-3)^{2}}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3)^{2}},
onde A,B,C são constantes reais que precisamos encontrar. Observação: não há termo polinomial porque o grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3); assim a fração já é própria.

Passo 3

Para achar A,B,C multiplicamos ambos os lados pela expressão do denominador (x-2)(x-3)^{2} para eliminar denominadores. Isso gera uma identidade polinomial válida para todo x:
x^{2}-x+7 = A(x-3)^{2} + B(x-2)(x-3) + C(x-2).
Agora dá para achar as constantes usando valores convenientes de x (substituição) porque o lado direito fica simples em algumas escolhas.

Passo 4

Escolha x=2. Substituindo em ambos os lados:
2^{2}-2+7 = A(2-3)^{2} + B(0)\cdot(2-3) + C(0).
Calculando o lado esquerdo: 4-2+7=9. No lado direito só sobra A( -1)^{2}=A. Logo
A=9.

Passo 5

Escolha x=3. Substituindo:
3^{2}-3+7 = A(0) + B(3-2)\cdot 0 + C(3-2).
O lado esquerdo é 9-3+7=13. O único termo não nulo à direita é C(1)=C. Portanto
C=13.

Passo 6

Agora falta B. Podemos escolher um valor prático, por exemplo x=0. Substituindo x=0 na identidade:
0^{2}-0+7 = A(0-3)^{2} + B(0-2)(0-3) + C(0-2).
Substituindo A=9 e C=13 e calculando cada termo:
7 = 9\cdot 9 + B\cdot(-2)\cdot(-3) + 13\cdot(-2).
Isso é
7 = 81 + 6B -26.
Simplificando o lado direito: 81-26=55, então
7 = 55 + 6B \quad\Rightarrow\quad 6B = 7-55 = -48.
Portanto
B = -8.

Passo 7

Agora que temos A=9, B=-8 e C=13, escrevemos a decomposição:
\frac{x^{2}-x+7}{(x-2)(x-3)^{2}}=\frac{9}{x-2}-\frac{8}{x-3}+\frac{13}{(x-3)^{2}}.
(Fazendo uma verificação rápida: multiplicando o lado direito por (x-2)(x-3)^{2} e expandindo retorna exatamente x^{2}-x+7, então os valores estão corretos.)

Resposta

\displaystyle \frac{9}{x-2}-\frac{8}{x-3}+\frac{13}{(x-3)^{2}}

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