Resolva utilizando o método da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
Informações importantes dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
, que tem um fator linear simples em e um fator linear repetido de multiplicidade em . - Não há mais informações externas; precisamos escrever a fração como soma de frações parciais e determinar as constantes.
Passo 2
Regra prática (explicação didática): quando o denominador tem fatores lineares distintos e também fatores repetidos, a decomposição tem termos para cada potência do fator repetido até sua multiplicidade. Aqui temos um fator
simples e um fator
repetido, portanto a forma geral da decomposição é
onde
são constantes reais que precisamos encontrar. Observação: não há termo polinomial porque o grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador (
); assim a fração já é própria.
Passo 3
Para achar
multiplicamos ambos os lados pela expressão do denominador
para eliminar denominadores. Isso gera uma identidade polinomial válida para todo
:
Agora dá para achar as constantes usando valores convenientes de
(substituição) porque o lado direito fica simples em algumas escolhas.
Passo 4
Escolha
. Substituindo em ambos os lados:
Calculando o lado esquerdo:
. No lado direito só sobra
. Logo
Passo 5
Escolha
. Substituindo:
O lado esquerdo é
. O único termo não nulo à direita é
. Portanto
Passo 6
Agora falta
. Podemos escolher um valor prático, por exemplo
. Substituindo
na identidade:
Substituindo
e
e calculando cada termo:
Isso é
Simplificando o lado direito:
, então
Portanto
Passo 7
Agora que temos
,
e
, escrevemos a decomposição:
(Fazendo uma verificação rápida: multiplicando o lado direito por
e expandindo retorna exatamente
, então os valores estão corretos.)