Resolva utilizando o método da decomposição em frações parciais:
\frac{x}{(x-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a expressão \dfrac{x}{(x-2)^{2}} usando o método de decomposição.
Informações dadas e observações importantes:
  • O numerador é \,x.
  • O denominador é (x-2)^{2}, ou seja, um fator linear repetido de multiplicidade 2.
  • A fração é própria (grau do numerador =1 é menor que grau do denominador =2).

Passo 2

Forma geral da decomposição para um fator linear repetido: quando o denominador tem (x-a)^{2} devemos tentar uma soma da forma
\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}.
Aqui a=2. Então escrevemos a suposição
\frac{x}{(x-2)^{2}}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^{2}},
onde A e B são constantes desconhecidas que vamos determinar. A ideia é que somando as duas frações do lado direito obtemos uma única fração com denominador (x-2)^{2}; ajustando A e B obtemos exatamente o numerador x.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)^{2} para eliminar os denominadores:
x = A(x-2)+B.
Isto é uma identidade em x: para todo x (exceto x=2 onde originalmente a expressão não está definida) as duas expressões coincidem, logo os coeficientes dos polinômios devem coincidir.

Passo 4

Encontramos A e B. Método rápido: avaliar na raiz do fator repetido x=2 para eliminar o termo com A:
\text{Para } x=2:\quad 2 = A(0)+B \implies B=2.
Agora podemos obter A comparando os coeficientes de x na identidade x = A(x-2)+B. Expandindo o lado direito:
x = Ax - 2A + B.
Comparando coeficientes do termo x: 1 = A. Portanto A=1. Verificação do termo constante: -2A+B = -2\cdot1 + 2 = 0, que bate com o lado esquerdo onde o termo constante é 0.

Passo 5

Escrevemos a decomposição encontrada:
\frac{x}{(x-2)^{2}}=\frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x-2)^{2}}.
Fazendo uma checagem rápida ao recombinar:
\frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x-2)^{2}}=\frac{(x-2)+2}{(x-2)^{2}}=\frac{x}{(x-2)^{2}},
logo está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x-2)^{2}}

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