Resolva utilizando o método da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para decompor em frações parciais a expressão
usando o método de decomposição.
Informações dadas e observações importantes:
Informações dadas e observações importantes:
- O numerador é
. - O denominador é
, ou seja, um fator linear repetido de multiplicidade . - A fração é própria (grau do numerador
é menor que grau do denominador ).
Passo 2
Forma geral da decomposição para um fator linear repetido: quando o denominador tem
devemos tentar uma soma da forma
Aqui
. Então escrevemos a suposição
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar. A ideia é que somando as duas frações do lado direito obtemos uma única fração com denominador
; ajustando
e
obtemos exatamente o numerador
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Isto é uma identidade em
: para todo
(exceto
onde originalmente a expressão não está definida) as duas expressões coincidem, logo os coeficientes dos polinômios devem coincidir.
Passo 4
Encontramos
e
. Método rápido: avaliar na raiz do fator repetido
para eliminar o termo com
:
Agora podemos obter
comparando os coeficientes de
na identidade
. Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes do termo
:
. Portanto
. Verificação do termo constante:
, que bate com o lado esquerdo onde o termo constante é
.
Passo 5
Escrevemos a decomposição encontrada:
Fazendo uma checagem rápida ao recombinar:
logo está correto.