Calcule a seguinte integral utilizando o método da decomposição em frações parciais:
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas importantes:
Observações úteis que extraem do enunciado: o denominador já está fatorado em uma raiz linear repetida
e um fator quadrático irreduzível
. Portanto podemos usar decomposição em frações parciais com termos da forma
.
Passo 2
Montamos a forma geral da decomposição em frações parciais (o numerador tem grau menor que o denominador, então é própria):
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 3
Simplificamos termos conhecidos: note que
pois expandindo
. Também
Agora expandimos os termos:
Somando tudo (coeficientes por potência de
) obtemos
Passo 4
Comparando coeficientes de potências iguais entre os dois lados (lado esquerdo não tem termo
Da primeira equação
, logo
Usando
na terceira equação
dá
Usando
na segunda equação
dá
Subtraindo essas duas últimas equações
resulta em
, logo
. Então
.
Portanto os coeficientes são
Passo 5
Escrevemos a decomposição com os valores encontrados:
Passo 6
Integramos termo a termo:
As duas primeiras integrais são diretas:
(Use que
.)
Passo 7
Falta
. Para integrar
escrevemos
em função da derivada do denominador:
então escrevemos
Logo
Integrando:
A primeira integral do lado direito é logarítmica:
A segunda integral exige completar o quadrado no denominador:
Fazendo a substituição
obtemos a forma padrão:
Portanto
Multiplicando por
(o fator que estava fora dessa integral) obtemos
Passo 8
Agora juntamos todas as parcelas obtidas:
Opcionalmente pode-se agrupar os logaritmos:
mas a forma anterior já é adequada como primitiva.