Calcule a seguinte integral utilizando o método da decomposição em frações parciais: \int \frac{2 x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)} d x.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{2x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}\,dx.
Informações dadas importantes:
\text{numerador } = 2x^{2}+x+1,\qquad \text{denominador }=(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right).
Observações úteis que extraem do enunciado: o denominador já está fatorado em uma raiz linear repetida (x-1)^{2} e um fator quadrático irreduzível x^{2}+x+1. Portanto podemos usar decomposição em frações parciais com termos da forma \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^{2}}+\dfrac{Cx+D}{x^{2}+x+1}.

Passo 2

Montamos a forma geral da decomposição em frações parciais (o numerador tem grau menor que o denominador, então é própria):
\frac{2x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x^{2}+x+1) obtemos a identidade polinomial
2x^{2}+x+1=A(x-1)(x^{2}+x+1)+B(x^{2}+x+1)+(Cx+D)(x-1)^{2}.

Passo 3

Simplificamos termos conhecidos: note que
(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1,
pois expandindo x^{3}+x^{2}+x - x^{2}-x-1=x^{3}-1. Também
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
Agora expandimos os termos:
A(x^{3}-1)=Ax^{3}-A,
B(x^{2}+x+1)=Bx^{2}+Bx+B,
(Cx+D)(x^{2}-2x+1)=Cx^{3}+(-2C+D)x^{2}+(C-2D)x+D.
Somando tudo (coeficientes por potência de x) obtemos
2x^{2}+x+1=(A+C)x^{3}+\big(B-2C+D\big)x^{2}+\big(B+C-2D\big)x+(-A+B+D).

Passo 4

Comparando coeficientes de potências iguais entre os dois lados (lado esquerdo não tem termo x^{3}\)) temos o sistema \[\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B-2C+D=2,\\[4pt] B+C-2D=1,\\[4pt] -A+B+D=1. \end{cases}
Da primeira equação C=-A\]. Substituindo nas demais: \[\begin{cases} B+2A+D=2,\\[4pt] B-A-2D=1,\\[4pt] -A+B+D=1. \end{cases}\] Subtraindo a terceira da primeira obtém-se \(3A=1, logo
A=\frac{1}{3},\qquad C=-\frac{1}{3}.
Usando A=\tfrac{1}{3} na terceira equação -A+B+D=1
-\tfrac{1}{3}+B+D=1\implies B+D=\tfrac{4}{3}.
Usando A=\tfrac{1}{3} na segunda equação B-A-2D=1
B-\tfrac{1}{3}-2D=1\implies B-2D=\tfrac{4}{3}.
Subtraindo essas duas últimas equações (B+D)-(B-2D)=0 resulta em 3D=0, logo D=0. Então B=\tfrac{4}{3}.
Portanto os coeficientes são
A=\frac{1}{3},\quad B=\frac{4}{3},\quad C=-\frac{1}{3},\quad D=0.]

Passo 5

Escrevemos a decomposição com os valores encontrados:
\frac{2x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)} =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{3}\cdot\frac{x}{x^{2}+x+1}.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \frac{2x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}\,dx =\frac{1}{3}\int\frac{1}{x-1}\,dx+\frac{4}{3}\int\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx-\frac{1}{3}\int\frac{x}{x^{2}+x+1}\,dx.
As duas primeiras integrais são diretas:
\frac{1}{3}\int\frac{1}{x-1}\,dx=\frac{1}{3}\ln|x-1|,
\frac{4}{3}\int\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx=\frac{4}{3}\int (x-1)^{-2}dx=-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{x-1}.
(Use que \displaystyle\frac{d}{dx}\frac{1}{x-1}=-(x-1)^{-2}.)

Passo 7

Falta \displaystyle -\frac{1}{3}\int\frac{x}{x^{2}+x+1}\,dx. Para integrar \displaystyle \frac{x}{x^{2}+x+1} escrevemos x em função da derivada do denominador:
2x+1=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+x+1\big),
então escrevemos
x=\frac{1}{2}(2x+1)-\frac{1}{2}.
Logo
\frac{x}{x^{2}+x+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+x+1}.
Integrando:
\int\frac{x}{x^{2}+x+1}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+x+1}\,dx.
A primeira integral do lado direito é logarítmica:
\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx=\ln\big(x^{2}+x+1\big).
A segunda integral exige completar o quadrado no denominador:
x^{2}+x+1=\Big(x+\tfrac{1}{2}\Big)^{2}+\tfrac{3}{4}.
Fazendo a substituição u=x+\tfrac{1}{2} obtemos a forma padrão:
\int\frac{1}{x^{2}+x+1}\,dx=\int\frac{1}{u^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\,du =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\Big(\frac{2u}{\sqrt{3}}\Big)+C =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\Big(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Big)+C.
Portanto
\int\frac{x}{x^{2}+x+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+x+1\big)-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\Big(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Big)+C
=\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+x+1\big)-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\Big(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Big)+C.
Multiplicando por -\dfrac{1}{3} (o fator que estava fora dessa integral) obtemos
-\frac{1}{3}\int\frac{x}{x^{2}+x+1}\,dx=-\frac{1}{6}\ln\big(x^{2}+x+1\big)+\frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan\!\Big(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Big).

Passo 8

Agora juntamos todas as parcelas obtidas:
\int \frac{2x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}\,dx =\frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{6}\ln\big(x^{2}+x+1\big)+\frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan\!\Big(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Big)+C.
Opcionalmente pode-se agrupar os logaritmos:
\frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{6}\ln\big(x^{2}+x+1\big) =\frac{1}{6}\Big(2\ln|x-1|-\ln\big(x^{2}+x+1\big)\Big),
mas a forma anterior já é adequada como primitiva.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{6}\ln\big(x^{2}+x+1\big)+\frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan\!\Big(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Big)+C

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