Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de $ \frac{x{2}}{\sqrt{x{2}+6}} $ em relação a $ x $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de divisão de frações algébricas e substituição. Vamos precisar reorganizar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o numerador $ x^{2} $ de uma forma que facilite a divisão pela raiz no denominador. Observe que:
Então, podemos substituir na integral:
Passo 3
Agora, separamos a integral em duas partes:
Simplificando a primeira parte, temos:
Então a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral $ \int \sqrt{x^{2}+6} , dx $. Para isso, usamos a fórmula padrão:
Aqui, $ a^{2} = 6 $, então $ a = \sqrt{6} $.
Aplicando a fórmula:
integral raizx^2+a^2 , dx = x2 raizx^2+a^2 + a^22 ln |x + raizx^2+a^2| + C
Passo 5
Agora, resolvemos a segunda integral $ \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+6}} dx $. Essa é uma integral padrão que resulta em: