Calcule a seguinte integral:
integral x^2raizx^2+6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de $ \frac{x{2}}{\sqrt{x{2}+6}} $ em relação a $ x $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de divisão de frações algébricas e substituição. Vamos precisar reorganizar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o numerador $ x^{2} $ de uma forma que facilite a divisão pela raiz no denominador. Observe que:
x^2
Então, podemos substituir na integral:
x^2 = (x^2 + 6) - 6

Passo 3

Agora, separamos a integral em duas partes:
integral x^2+6raizx^2+6 dx - 6 integral 1raizx^2+6 dx
Simplificando a primeira parte, temos:
x^2+6raizx^2+6 = raizx^2+6
Então a integral fica:
integral raizx^2+6 , dx - 6 integral 1raizx^2+6 dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral $ \int \sqrt{x^{2}+6} , dx $. Para isso, usamos a fórmula padrão:
integral raizx^2+6 , dx
Aqui, $ a^{2} = 6 $, então $ a = \sqrt{6} $.
Aplicando a fórmula:
integral raizx^2+a^2 , dx = x2 raizx^2+a^2 + a^22 ln |x + raizx^2+a^2| + C

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral $ \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+6}} dx $. Essa é uma integral padrão que resulta em:
integral 1raizx^2+6 dx
Multiplicando por ln |x + raizx^2+6| + C :
-6

Passo 6

Juntando as duas partes que resolvemos:
x2 raizx^2+6 + 3 ln |x + raizx^2+6| - 6 ln |x + raizx^2+6| + C
Simplificando os termos logarítmicos:
x2 raizx^2+6 - 3 ln |x + raizx^2+6| + C

Resposta

A integral é igual a:
x2 raizx^2+6 - 3 ln |x + raizx^2+6| + C

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