Uma lata cilíndrica deve ter a capacidade de 50 pi cm^3. O material do topo e base da caixa custa R por por , enquanto que o material com o qual os lados são feitos custa , enquanto que o material com o qual os lados são feitos custa por 20,00. Encontre o raio da base e a altura da lata que minimiza o custo da lata.

Passo 1

Vamos resumir o que o problema pede: temos uma lata cilíndrica com volume fixo de 50pi cm^3, o material do topo e da base custa R$ 25,00 por metro quadrado e o material do lado custa R$ 20,00 por metro quadrado. Precisamos achar o raio 25,00 por metro quadrado e o material do lado custa R e a altura r que minimizam o custo total. O conteúdo aqui é otimização de funções usando derivada, lembrando de converter unidades de h para cm^2.

Passo 2

O volume de um cilindro é dado por V=pi r^2h. Como V=50pi, isolamos h:
h=Vpi r^2=50pipi r^2=50r^2

Passo 3

A área total em cm^2 é composta por: topo e base: 2pi r^2, lateral: 2pi r h. Como 1 m ^2=10 ^4 cm ^2, o custo total é
$$C®=25\cdot\frac{2\pi r2}{104}+20\cdot\frac{2\pi r h}{10^4}.
$$Substituindo C(r)=25cdot2pi r^210^4+20cdot2pi r h10^4 e fatorando,
$$C®=\frac{\pi}{104}\Bigl(50r2+40r\cdot\frac{50}{r2}\Bigr)=\frac{\pi}{104}\Bigl(50r^2+\frac{2000}{r}\Bigr).
$$

Passo 4

Para minimizar, derivamos em relação a r e igualamos a zero:
$$C’®=\frac{\pi}{104}\Bigl(100r-\frac{2000}{r2}\Bigr)=0
$$isso dá
$$100r-\frac{2000}{r2}=0\implies100r3=2000\implies r^3=20\implies r=\sqrt[3]{20}.
$$

Passo 5

Finalmente, a altura é h=50/r^2:
$$h=\frac{50}{(\sqrt[3]{20})^2}.
$$

Resposta

Raio: r=raiz[3]20 cm. Altura: h=dfrac50(raiz[3]20)^2 cm.

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