Uma lata cilíndrica deve ter a capacidade de
. O material do topo e base da caixa custa
por
, enquanto que o material com o qual os lados são feitos custa
por
. Encontre o raio da base e a altura da lata que minimiza o custo da lata.
Passo 1
Vamos resumir o que o problema pede: temos uma lata cilíndrica com volume fixo de
, o material do topo e da base custa R$ 25,00 por metro quadrado e o material do lado custa R$ 20,00 por metro quadrado. Precisamos achar o raio
e a altura
que minimizam o custo total. O conteúdo aqui é otimização de funções usando derivada, lembrando de converter unidades de
para
.
Passo 2
O volume de um cilindro é dado por
. Como
, isolamos
:
Passo 3
A área total em
é composta por: topo e base:
, lateral:
. Como 1 m
=10
cm
, o custo total é
$$C®=25\cdot\frac{2\pi r2}{104}+20\cdot\frac{2\pi r h}{10^4}.
$$Substituindo
e fatorando,
$$C®=\frac{\pi}{104}\Bigl(50r2+40r\cdot\frac{50}{r2}\Bigr)=\frac{\pi}{104}\Bigl(50r^2+\frac{2000}{r}\Bigr).
$$
Passo 4
Para minimizar, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
$$C’®=\frac{\pi}{104}\Bigl(100r-\frac{2000}{r2}\Bigr)=0
$$isso dá
$$100r-\frac{2000}{r2}=0\implies100r3=2000\implies r^3=20\implies r=\sqrt[3]{20}.
$$
Passo 5
Finalmente, a altura é
:
$$h=\frac{50}{(\sqrt[3]{20})^2}.
$$
Resposta
Raio:
. Altura:
.