Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
integral1^2 integral0^x integral1^x+x y x y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada integralx=1^2 integraly=0^x integralz=1^x+xy x,y ,dz,dy,dx. O conteúdo é integração iterada em três variáveis e usaremos a ordem dada: primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Como a integranda x,y não depende de z, integramos em z apenas multiplicando pelo comprimento do intervalo de integração em z:
integralz=1^x+xy x,y ,dz = x,y l[(x+xy)-1r] = x,y (x + x y - 1)

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a x:
integraly=0^x x,y (x + x y - 1) ,dy = integral0^x l(x^2 y + x^2 y^2 - x yr) ,dy
Calculando cada termo:
integral0^x x^2 y ,dy = x^42, integral0^x x^2 y^2 ,dy = x^53, integral0^x x y ,dy = x^32
Logo o resultado é
x^42 + x^53 - x^32

Passo 4

Por fim, integramos em x de 1 a 2:
integral1^2 l(x^42 + x^53 - x^32r) ,dx = underbraceintegral1^2 x^53dx=72 + underbraceintegral1^2 x^42dx=3110 - underbraceintegral1^2 x^32dx=158
Somando essas parcelas (com denominador comum 40) dá
14040 + 12440 - 7540 = 18940

Resposta

18940

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