Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a + on a a y. Então, calcule a área da região.
  1. arcsin y=x, ln y=x, x=0, x=pi2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas arcsin y = x, ln y = x, x = 0 e x = tfracpi2. O conteúdo é cálculo de área entre duas funções em um dado intervalo de x, e vamos precisar usar a definição de área entre curvas: A = integrala^b (ytop - ybot),dx.

Passo 2

Primeiro, resolvemos cada equação para y: arcsin y = x implica y = sin x e ln y = x implica y = e^x.
Agora, determinamos qual curva está acima no intervalo 0 <= x <= tfracpi2. Para todo x em [0, tfracpi2] temos 0 <= sin x <= 1 e e^x >= 1, logo ytop = e^x e ybot = sin x.

Passo 3

Montamos a integral da área como
A = integral0^pi/2 l(e^x - sin xr),dx

Passo 4

Para calcular essa integral, usamos integral e^x,dx = e^x e integral sin x,dx = -cos x. Assim,
A = l[e^x + cos xr]0^pi/2

Passo 5

Avaliaremos nos limites: em x = tfracpi2 temos e^pi/2 + cos(tfracpi2) = e^pi/2 + 0, e em x = 0 temos e^0 + cos 0 = 1 + 1 = 2. Portanto,
A = e^pi/2 - 2

Resposta

e^pi/2 - 2

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