Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve uma raiz quadrada:
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais que têm radicais com expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar usar a substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais com expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada. Sabemos que quando temos
, uma boa troca é usar
. No nosso caso,
, então vamos definir:
Isso vai nos ajudar a transformar a integral em termos de
, o que geralmente é mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a diferencial
em termos de
. Derivando ambos os lados de
em relação a
, temos:
Então, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral:
Simplificando o que está dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
A integral agora é:
Sabemos que
. Então, podemos reescrever a integral como:
Lembrando que a integral de
é conhecida. Além disso, sabemos que
, o que facilita a integração.
Passo 6
Substituindo
, a integral fica:
Sabemos que:
E:
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Como fizemos a substituição
, podemos desenhar um triângulo reto para relacionar
com
.
No triângulo:
- O lado oposto a
é . - A hipotenusa é
. - O lado adjacente, usando o teorema de Pitágoras, é
.
Então, temos:
Além disso,
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
A integral vale: