Calcule a seguinte integral:
integral raiz4-x^2x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve uma raiz quadrada: integral raiz4 - x^2x^2 , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais que têm radicais com expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar usar a substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais com expressões como raiza^2 - x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada. Sabemos que quando temos raiza^2 - x^2, uma boa troca é usar x = a sin theta. No nosso caso, a = 2, então vamos definir:
x = 2 sin theta
Isso vai nos ajudar a transformar a integral em termos de theta, o que geralmente é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a diferencial dx em termos de theta. Derivando ambos os lados de x = 2 sin theta em relação a theta, temos:
dx = 2 cos theta , dtheta
Então, substituímos x e dx na integral original.

Passo 4

Vamos substituir x = 2 sin theta e dx = 2 cos theta , dtheta na integral:
integral raiz4 - x^2x^2 , dx = integral raiz4 - 4 sin^2 theta4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificando o que está dentro da raiz:
raiz4 - 4 sin^2 theta = raiz4(1 - sin^2 theta) = raiz4 cos^2 theta = 2 cos theta
Portanto, a integral fica:
integral 2 cos theta4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta = integral 4 cos^2 theta4 sin^2 theta , dtheta = integral cos^2 thetasin^2 theta , dtheta

Passo 5

A integral agora é:
integral cos^2 thetasin^2 theta , dtheta
Sabemos que cos^2 thetasin^2 theta = cot^2 theta. Então, podemos reescrever a integral como:
integral cot^2 theta , dtheta
Lembrando que a integral de cot^2 theta é conhecida. Além disso, sabemos que cot^2 theta = csc^2 theta - 1, o que facilita a integração.

Passo 6

Substituindo cot^2 theta = csc^2 theta - 1, a integral fica:
integral (csc^2 theta - 1) , dtheta = integral csc^2 theta , dtheta - integral 1 , dtheta
Sabemos que:
integral csc^2 theta , dtheta = -cot theta + C
E:
integral 1 , dtheta = theta + C
Então, a integral completa fica:
-cot theta - theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Como fizemos a substituição x = 2 sin theta, podemos desenhar um triângulo reto para relacionar theta com x.
No triângulo:
  • O lado oposto a theta é x = 2 sin theta.
  • A hipotenusa é 2.
  • O lado adjacente, usando o teorema de Pitágoras, é raiz4 - x^2.
Então, temos:
cot theta = cos thetasin theta = raiz4 - x^2x
Além disso, theta = arcsin(x2).

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da integral:
-cot theta - theta + C = -raiz4 - x^2x - arcsin(x2) + C

Resposta

A integral vale:
-raiz4 - x^2x - arcsin(x2) + C

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