Seja f(t) uma função periódica, tal que:
f(t)=t+pi, para -pi <= t
Nessas condições, pergunta-se:
© Desenvolva a série de Fourier de f(t).

Passo 1

O enunciado define uma função periódica f(t) de período 2pi, dada por f(t)=t+pi para -pi <= t < pi. Queremos encontrar a série de Fourier dessa função, calculando os coeficientes a0, an e bn.

Passo 2

Para calcular o coeficiente médio a0, usamos a fórmula
a0 = 1pi integral-pi^pi f(t),dt = 1pi integral-pi^pi (t+pi),dt
Integrando,
integral-pi^pi (t+pi),dt = l[tfract^22+pi tr]-pi^pi = 2pi^2,
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a0 = 2pi^2pi = 2pi,
portanto o termo constante é a0/2 = pi.

Passo 3

Para os coeficientes an (componentes de cosseno), usamos
an = 1pi integral-pi^pi (t+pi)cos(nt),dt
Separando em integral tcos(nt),dt e integral picos(nt),dt e avaliando em [-pi,pi], verifica-se que ambas as integrais se anulam. Assim,
an = 0 para todo n

Passo 4

Para os coeficientes bn (componentes de seno), usamos
bn = 1pi integral-pi^pi (t+pi)sin(nt),dt
Fazendo integração por partes em integral tsin(nt),dt e somando a integral de pisin(nt), obtém-se
bn = -2pi(-1)^npi n = -2(-1)^nn = 2(-1)^n+1n

Passo 5

Substituindo na série geral
f(t) = a02 + sumn=1^infty[ancos(nt)+bnsin(nt)],
chegamos à forma final:

Passo 6

f(t) = pi + 2sumn=1^infty (-1)^n+1nsin(nt)

Resposta

f(t) = pi + 2sumn=1^infty (-1)^n+1nsin(nt)

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