Considere a equação
e q:(z^3-1)(z^3-8 i)=0
Assinale a alternativa correta:
a) A equação dada possui exatamente 6 raízes complexas.
b) A equação em questão possui duas raízes reais e outras quatro complexas ocorrendo aos pares.
c) Apenas duas das seis raízes da equação são conjugadas uma da outra.
d) Todas as soluções apresentam parte real negativa.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

A gente tem a equação (z^3 - 1)(z^3 - 8i) = 0. O conteúdo aqui é encontrar as raízes cúbicas de um número complexo, usando representação polar e as raízes de unidade. Vamos resolver achando primeiro as soluções de z^3 = 1 e depois de z^3 = 8i.

Passo 2

Para z^3 = 1, usamos as raízes cúbicas da unidade. A forma geral é k=0,1,2 para 1, e^i2pi3, e^i4pi3. Assim obtemos as três raízes:
z^3 = 8i
Para 8i, escrevemos 8 em forma polar: módulo tfracpi2 + 2pi m e argumento zk = 2,e^il(pi/2 + 2pi m3r) = 2,e^il(pi6 + tfrac2pi m3r), m=0,1,2. As raízes são
2e^ipi6, 2e^i5pi6, 2e^i3pi2
que são explicitamente

Passo 3

Agora, classificando: entre todas as seis raízes só 1 é real. As outras cinco têm parte imaginária não nula. Quanto a pares de conjugados, vemos que apenas
e^i2pi3 e e^i4pi3
formam um par conjugado. Nenhum outro par aparece entre as raízes de z^3=8i.
Comparando com as alternativas:
- (a) Diz que há exatamente 6 raízes complexas (todas as raízes de um polinômio grau 6 são complexas, mas isso é trivial).
- (b) Falsa, só há uma raiz real, não duas.
- © Correta: só um par de conjugados entre as seis raízes.
- (d) Falsa, há raízes com parte real positiva.
Logo a alternativa certa é a ©.

Resposta

c) Apenas duas das seis raízes da equação são conjugadas uma da outra.

Exercícios relacionados