Calcule o seguinte limite, caso exista. Justifique se não existir.
lim (x, y) (0,0) x^3 y^2x^6+2 y^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis em um ponto crítico. O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e, como envolve indeterminação, vamos precisar investigar diferentes caminhos de aproximação para ver se o valor é único.

Passo 2

Percebemos que, ao ir ao ponto (0,0), tanto o numerador x^3y^2 quanto o denominador x^6+2y^4 tendem a zero, então há tipo indeterminado 0/0. Testamos caminhos simples: se y=0, a função é zero; se x=0, também dá zero. Mas isso não garante que o limite seja zero em todos os caminhos.

Passo 3

Para ver se o valor depende do caminho, escolhemos um caminho que equilibre as potências de x e y no denominador: definimos y=t x^3/2, com t constante real. Assim yto0 quando xto0.
Substituindo y=t x^3/2 na função, temos:
x^3,(t^2x^3)x^6+2,(t^4x^6)=t^2x^6x^6,(1+2t^4)=t^21+2t^4

Passo 4

Como o resultado t^2/(1+2t^4) depende do parâmetro t, diferentes escolhas de t dão limites diferentes.
Logo, como o valor obtido varia conforme o caminho de aproximação, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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