Calcule o seguinte limite, caso exista. Justifique se não existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis em um ponto crítico. O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e, como envolve indeterminação, vamos precisar investigar diferentes caminhos de aproximação para ver se o valor é único.
Passo 2
Percebemos que, ao ir ao ponto (0,0), tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a zero, então há tipo indeterminado
. Testamos caminhos simples: se
, a função é zero; se
, também dá zero. Mas isso não garante que o limite seja zero em todos os caminhos.
Passo 3
Para ver se o valor depende do caminho, escolhemos um caminho que equilibre as potências de
e
no denominador: definimos
, com
constante real. Assim
quando
.
Substituindo na função, temos:
Substituindo
Passo 4
Como o resultado
depende do parâmetro
, diferentes escolhas de
dão limites diferentes.
Logo, como o valor obtido varia conforme o caminho de aproximação, o limite não existe.
Logo, como o valor obtido varia conforme o caminho de aproximação, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.