Estude a posição relativa de e e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção .
Passo 1
A questão dá uma reta definida por um sistema de duas equações lineares e um plano em forma paramétrica. O conteúdo é posição relativa entre reta e plano e, se forem transversais, achar o ponto de interseção.
Passo 2
Para achar a direção de , usamos o vetor normal de cada equação e fazemos o produto vetorial. As normais são e . Então
$$
n_1\times n_2 = = (0,3,3).$$
Podemos simplificar para o vetor de direção d=(0,1,1).
Passo 3
Precisamos também de um ponto em r. Fazendo z=0, as equações viram
x-y=0, 2x+y-1=0
Da primeira vem y=x. Substituindo na segunda: 2x+x-1=0 dá x=tfrac13, logo y=tfrac13. Um ponto em r é A=(tfrac13,tfrac13,0).
Passo 4
Agora o normal ao plano pi sai do produto vetorial entre os vetores de direção (1,-tfrac12,0) e (0,1,1):
(1,-tfrac12,0)times(0,1,1)=(-tfrac12,-1,1),
que equivale a npi=(-1,-2,2) multiplicando por 2.
Passo 5
Para ver se r é paralelo, calculamos dcdot npi=(0,1,1)cdot(-1,-2,2)=0-2+2=0. Como o produto é zero, r é paralelo ao plano. Para saber se está contida, substituímos A na forma paramétrica de pi e vemos que não há solução para os parâmetros. Portanto, não está contida.
Passo 6
Concluímos que r é paralela a pi e não há ponto de interseção, pois não são transversais.
Resposta
A reta r é paralela ao plano π e não há ponto de interseção.