Estude a posição relativa de r e pi e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P.
lx-y+z=0 2 x+y-z-1=0
pi: X=(1, 12, 0)+lambda(1, -12, 0)+mu(0,1,1)

Passo 1

A questão dá uma reta r definida por um sistema de duas equações lineares e um plano pi em forma paramétrica. O conteúdo é posição relativa entre reta e plano e, se forem transversais, achar o ponto de interseção.

Passo 2

Para achar a direção de r, usamos o vetor normal de cada equação e fazemos o produto vetorial. As normais são n1=(1,-1,1) e n2=(2,1,-1). Então
$$
n_1\times n_2 = n1times n2 = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & 1 & -1 = (0,3,3) = (0,3,3).$$
Podemos simplificar para o vetor de direção d=(0,1,1).

Passo 3

Precisamos também de um ponto em r. Fazendo z=0, as equações viram
x-y=0, 2x+y-1=0
Da primeira vem y=x. Substituindo na segunda: 2x+x-1=0 x=tfrac13, logo y=tfrac13. Um ponto em r é A=(tfrac13,tfrac13,0).

Passo 4

Agora o normal ao plano pi sai do produto vetorial entre os vetores de direção (1,-tfrac12,0) e (0,1,1):
(1,-tfrac12,0)times(0,1,1)=(-tfrac12,-1,1),
que equivale a npi=(-1,-2,2) multiplicando por 2.

Passo 5

Para ver se r é paralelo, calculamos dcdot npi=(0,1,1)cdot(-1,-2,2)=0-2+2=0. Como o produto é zero, r é paralelo ao plano. Para saber se está contida, substituímos A na forma paramétrica de pi e vemos que não há solução para os parâmetros. Portanto, não está contida.

Passo 6

Concluímos que r é paralela a pi e não há ponto de interseção, pois não são transversais.

Resposta

A reta r é paralela ao plano π e não há ponto de interseção.

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