Se
, onde
Calcule
no ponto
.
Calcule
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função $ w = \frac{q - p}{r - p} $, onde $ p $, $ q $ e $ r $ são expressões lineares em $ x $, $ y $ e $ z $. O objetivo é calcular a derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $ no ponto $ (x, y, z) = (1, 2, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as expressões de $ p $, $ q $ e $ r $ na fórmula de $ w $:
Então,
Vamos calcular $ q - p $ e $ r - p $:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial y} $.
Temos:
Para derivar essa função em relação a $ y $, usamos a regra do quociente, que diz:
Aplicando isso em $ w $:
Então,
Simplificando o numerador:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores do ponto $ (x, y, z) = (1, 2, 1) $ na expressão da derivada:
Substituindo:
Resposta
A derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $ no ponto $ (1, 2, 1) $ é $ \frac{2}{5} $.