Se w=q-pr-p, onde p=x+2 y+z, q=x-2 y-z, r=x+y-2 z
Calcule partial wpartial y no ponto (x, y, z)=(1,2,1).

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função $ w = \frac{q - p}{r - p} $, onde $ p $, $ q $ e $ r $ são expressões lineares em $ x $, $ y $ e $ z $. O objetivo é calcular a derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $ no ponto $ (x, y, z) = (1, 2, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de $ p $, $ q $ e $ r $ na fórmula de $ w $:
p
q
r
Então,
w
Vamos calcular $ q - p $ e $ r - p $:
p = x + 2y + z
q = x - 2y - z
Portanto,
r = x + y - 2z

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial y} $.
Temos:
w
Para derivar essa função em relação a $ y $, usamos a regra do quociente, que diz:
y
Aplicando isso em $ w $:
partial wpartial y
w = 4y + 2zy + 3z
Então,
y
Simplificando o numerador:
ddy(uv) = u'v - uv'v^2
Portanto,
w

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores do ponto $ (x, y, z) = (1, 2, 1) $ na expressão da derivada:
(x, y, z) = (1, 2, 1)
Substituindo:
y = 2 e z = 1

Resposta

A derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $ no ponto $ (1, 2, 1) $ é $ \frac{2}{5} $.

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