Seja f: R^2 R dada por:
f(x, 0)=2+x^2, f(0, y)=2+y^3 e f(x, y)=1 se x neq 0 e y neq 0
partial fpartial x(0,1) existe? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida de diferentes maneiras dependendo dos valores de $ x $ e $ y $. A questão é saber se a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,1) $ existe. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como verificar se elas existem em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (a,b) $ é o limite:
f
Isso basicamente mede como a função muda quando a gente varia $ x $, mantendo $ y $ fixo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso específico, onde queremos $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,1) $. Vamos substituir $ a = 0 $ e $ b = 1 $ na fórmula:
partial fpartial x(0,1)

Passo 4

Agora, precisamos saber quais são os valores de $ f(h, 1) $ e $ f(0, 1) $. Olhando para a definição da função:
  • Quando $ x \neq 0 $ e $ y \neq 0 $, $ f(x, y) = 1 $.
  • Quando $ x = 0 $, $ f(0, y) = 2 + y^{3} $.
Então:
f(h, 1)
f(0, 1)

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da derivada parcial:
partial fpartial x(0,1) = limh to 0 1 - 3h = limh to 0 -2h

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite. Se $ h $ tende a 0 por valores positivos, $ \frac{-2}{h} $ tende a $ -\infty $. Se $ h $ tende a 0 por valores negativos, $ \frac{-2}{h} $ tende a $ +\infty $. Como os limites laterais não coincidem, o limite geral não existe.

Resposta

Não, a derivada parcial $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,1) $ não existe.

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