Seja
dada por:
existe? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida de diferentes maneiras dependendo dos valores de $ x $ e $ y $. A questão é saber se a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,1) $ existe. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como verificar se elas existem em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (a,b) $ é o limite:
Isso basicamente mede como a função muda quando a gente varia $ x $, mantendo $ y $ fixo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso específico, onde queremos $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,1) $. Vamos substituir $ a = 0 $ e $ b = 1 $ na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos saber quais são os valores de $ f(h, 1) $ e $ f(0, 1) $. Olhando para a definição da função:
- Quando $ x \neq 0 $ e $ y \neq 0 $, $ f(x, y) = 1 $.
- Quando $ x = 0 $, $ f(0, y) = 2 + y^{3} $.
Então:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite. Se $ h $ tende a 0 por valores positivos, $ \frac{-2}{h} $ tende a $ -\infty $. Se $ h $ tende a 0 por valores negativos, $ \frac{-2}{h} $ tende a $ +\infty $. Como os limites laterais não coincidem, o limite geral não existe.
Resposta
Não, a derivada parcial $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,1) $ não existe.