Calcule o seguinte limite.
lim x -infty sen(2+x-pi x^212 x-4 x^2)

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto -infty sinl(2 + x - pi x^212x - 4x^2r). O conteúdo envolve limites de funções racionais e a continuidade da função seno. Para resolver, vamos fatorar os termos de maior grau na fração interna e depois usar que sin é contínua.

Passo 2

Reescrevendo o argumento do seno, temos a função interna
2 + x - pi x^212x - 4x^2 = x^2l(-pi + tfrac1x + tfrac2x^2r)x^2l(-4 + tfrac12xr) = -pi + tfrac1x + tfrac2x^2-4 + tfrac12x

Passo 3

Agora calculamos o limite da fração interna quando xto -infty. Observando que 1/xto0, 2/x^2to0 e 12/xto0, obtemos
limxto -infty-pi + tfrac1x + tfrac2x^2-4 + tfrac12x = -pi-4 = pi4

Passo 4

Como a função sin é contínua, podemos passar o limite para dentro da função. Logo,
limxto -infty sinl(2 + x - pi x^212x - 4x^2r) = sinl(limxto -infty2 + x - pi x^212x - 4x^2r) = sinl(tfracpi4r) = raiz22

Resposta

raiz22

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