Determine o momento de inércia, em relação ao seu eixo de simetria, de um tubo cilíndrico reto homogêneo (densidade constante) de raio interno a, raio externo b e altura h.
Observação: M é a massa total do tubo.

Passo 1

No enunciado temos um tubo cilíndrico reto homogêneo de raio interno a, raio externo b e altura h, e queremos o momento de inércia em relação ao eixo de simetria (eixo z). O conteúdo envolve momento de inércia de corpo contínuo e uso de coordenadas cilíndricas.

Passo 2

O volume do tubo é dado por
V = pi,(b^2 - a^2),h
Como a massa total é M, a densidade volumétrica é
rho = MV = Mpi,(b^2 - a^2),h

Passo 3

A definição do momento de inércia de um corpo contínuo em relação ao eixo z é
I = integral r^2,dm
Aqui usamos a substituição dm = rho,dV.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas temos dV = r,dr,dtheta,dz, com rin[a,b], thetain[0,2pi] e zin[0,h]. Logo
I = integralz=0^hintegraltheta=0^2piintegralr=a^b r^2,(rho,r,dr,dtheta,dz)

Passo 5

Fazendo a integral em r primeiro:
I = rho,integral0^hdzintegral0^2pidthetaintegrala^b r^3,dr = rho,h,(2pi),b^4 - a^44

Passo 6

Substituindo rho = M/[pi(b^2 - a^2)h] e usando b^4 - a^4 = (b^2 - a^2)(b^2 + a^2), obtemos
I = Mpi(b^2 - a^2)h;2pi h4(b^4 - a^4) = M2(a^2 + b^2)

Resposta

I = tfrac12,M,(a^2 + b^2)

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