Determine o valor de L para que a função f abaixo seja contínua no ponto dado.
f(x)=ccx+L ; & x >= 0 x^3+L^2 ; & x<0 (a=0)

Passo 1

Temos a função definida por partes
f(x)=x+L,&x>=0x^3+L^2,&x<0,,
e queremos achar o valor de L para que ela seja contínua em a=0. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes, e vamos usar limites laterais e a definição de continuidade.

Passo 2

Pela definição, f é contínua em x=0 se
[\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0+}f(x)=f(0),.

Passo 3

Como para x>=0 vale f(x)=x+L, temos
f(0)=0+L=L,
o valor da própria função em 0.

Passo 4

Agora calculamos os limites laterais:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x^3+L^2)=0^3+L^2=L^2
limxto0^+f(x)=limxto0^+(x+L)=0+L=L,

Passo 5

Para continuidade, exigimos
limxto0^-f(x)=f(0)elimxto0^+f(x)=f(0)
portanto
L^2=L,

Passo 6

Resolvendo L^2-L=0:
L(L-1)=0implies L=0ou L=1,

Resposta

L=0 ou L=1

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