Determine o momento de inércia, em relação ao seu eixo de simetria, do sólido interior ao cilindro
e à esfera
. (Considere a densidade constante
)
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia do sólido definido por x²+y²≤1 e x²+y²+z²≤2 em relação ao eixo de simetria (eixo z), com densidade constante ρ. Vamos usar coordenadas cilíndricas e a fórmula I_z=∭(x²+y²)dm.
Passo 2
Na teoria de momento de inércia, em coordenadas cilíndricas temos x²+y²=r² e dm=ρ dV=ρ r dr dθ dz. A região é r∈[0,1], θ∈[0,2π], z∈[−√(2−r²),√(2−r²)].
O integral triplo fica: I_z=∫_0{2π}∫_01∫_{-√(2-r²)}^{√(2-r²)}r²(ρ r)dz dr dθ =ρ 2π∫_0^1r³[2√(2−r²)]dr.
O integral triplo fica: I_z=∫_0{2π}∫_01∫_{-√(2-r²)}^{√(2-r²)}r²(ρ r)dz dr dθ =ρ 2π∫_0^1r³[2√(2−r²)]dr.
Passo 3
Extraímos constantes: I_z=4πρ∫_0^1r³√(2−r²)dr. Para resolver essa integral, fazemos u=2−r² ⇒ du=−2r dr. Assim r³dr=(2−u)(−du/2) e os limites viram u∈[2→1].
A integral reduz-se a ½∫_12(2−u)u{1/2}du =½[ (4/3)u{3/2}−(2/5)u{5/2} ]_1^2 =½[16√2/15−14/15] =8√2/15−7/15.
A integral reduz-se a ½∫_12(2−u)u{1/2}du =½[ (4/3)u{3/2}−(2/5)u{5/2} ]_1^2 =½[16√2/15−14/15] =8√2/15−7/15.
Passo 4
Substituindo de volta em I_z: I_z=4πρ(8√2/15−7/15)=(4πρ/15)(8√2−7).