Calcule o seguinte limite: \lim _{n \longrightarrow \infty}\left[\left(\frac{x}{n}\right) \sum_{j=1}^{n} \operatorname{sen}\left(\frac{j x}{n}\right)\right], onde x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\left[\left(\frac{x}{n}\right)\sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{j x}{n}\right)\right],
onde x\in\mathbb{R} é um parâmetro fixo.
Informações dadas:
  • A expressão depende de n (tendendo a infinito) e de x (fixo).
  • A soma é \displaystyle\sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{j x}{n}\right).
    O que se pede:
  • Determinar o valor do limite, em função de x.

Passo 2

Transformar a expressão para ver um formato de soma que conhecemos bem. Escrevo o fator \dfrac{x}{n} como \dfrac{1}{n}\cdot x e coloco o x dentro da soma:
\left(\frac{x}{n}\right)\sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{j x}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\underbrace{x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{j x}{n}\right)}_{=:f\!\left(\frac{j}{n}\right)}.
Aqui defini a função de variável s
f(s)=x\,\operatorname{sen}(x s),
de forma que o termo da soma é f\!\left(\dfrac{j}{n}\right). Vou explicar com calma o que isso significa.

Passo 3

Explicando o conceito que vamos usar (bem mastigado): uma soma do tipo
\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}f\!\left(\frac{j}{n}\right)
é um somatório de Riemann para a integral de f no intervalo [0,1]. A ideia é particionar [0,1] em n subintervalos de largura \Delta s=\dfrac{1}{n}, pegar pontos s_j=\dfrac{j}{n} e somar f(s_j)\Delta s. Se f for contínua em [0,1], essas somas convergem para
\int_0^1 f(s)\,ds.
No nosso caso f(s)=x\sin(x s). Para fixar a intuição: s é um número entre 0 e 1; o argumento de \sin é x s, que varia de 0 até x quando s vai de 0 até 1.

Passo 4

Verifico que f(s)=x\sin(x s) é contínua em [0,1] para todo x\in\mathbb{R} (produto e composição de funções contínuas). Pela propriedade de convergência das somas de Riemann, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{j x}{n}\right) = \int_{0}^{1} x\,\operatorname{sen}(x s)\,ds.
Portanto o limite pedido é essa integral.

Passo 5

Calcular a integral explicitamente. Faço a mudança de variável \displaystyle u= x s. Então du = x\,ds, logo ds=\dfrac{du}{x}. Os limites: quando s=0 tem u=0; quando s=1 tem u=x. Assim
\int_{0}^{1} x\,\operatorname{sen}(x s)\,ds = \int_{u=0}^{u=x} \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 6

Avalio a integral de \operatorname{sen}(u). Uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Portanto
\int_{0}^{x}\operatorname{sen}(u)\,du = \bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{x} = -\cos(x)-\bigl(-\cos(0)\bigr) = 1-\cos(x).

Passo 7

Concluo que, para todo x\in\mathbb{R},
\lim_{n\to\infty}\left[\left(\frac{x}{n}\right)\sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{j x}{n}\right)\right]=1-\cos(x).
Cheque rápido: para x=0 a expressão original dá 0 para todo n e a fórmula dá 1-\cos(0)=0, consistente. Para x=\pi a fórmula dá 1-\cos(\pi)=1-(-1)=2, outro exemplo numérico.

Resposta

1-\cos(x)

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