Calcule o seguinte limite: \lim _{n \longrightarrow \infty}\left[\left(\frac{x}{n}\right) \sum_{j=1}^{n} \operatorname{sen}\left(\frac{j x}{n}\right)\right], onde x \in \mathbb{R}.
onde x\in\mathbb{R} é um parâmetro fixo.
Informações dadas:
A expressão depende de n (tendendo a infinito) e de x (fixo).
A soma é \displaystyle\sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{j x}{n}\right).
O que se pede:
Determinar o valor do limite, em função de x.
Passo 2
Transformar a expressão para ver um formato de soma que conhecemos bem. Escrevo o fator \dfrac{x}{n} como \dfrac{1}{n}\cdot x e coloco o x dentro da soma:
é um somatório de Riemann para a integral de f no intervalo [0,1]. A ideia é particionar [0,1] em n subintervalos de largura \Delta s=\dfrac{1}{n}, pegar pontos s_j=\dfrac{j}{n} e somar f(s_j)\Delta s. Se f for contínua em [0,1], essas somas convergem para
\int_0^1 f(s)\,ds.
No nosso caso f(s)=x\sin(x s). Para fixar a intuição: s é um número entre 0 e 1; o argumento de \sin é x s, que varia de 0 até x quando s vai de 0 até 1.
Passo 4
Verifico que f(s)=x\sin(x s) é contínua em [0,1] para todo x\in\mathbb{R} (produto e composição de funções contínuas). Pela propriedade de convergência das somas de Riemann, temos
Calcular a integral explicitamente. Faço a mudança de variável \displaystyle u= x s. Então du = x\,ds, logo ds=\dfrac{du}{x}. Os limites: quando s=0 tem u=0; quando s=1 tem u=x. Assim
Cheque rápido: para x=0 a expressão original dá 0 para todo n e a fórmula dá 1-\cos(0)=0, consistente. Para x=\pi a fórmula dá 1-\cos(\pi)=1-(-1)=2, outro exemplo numérico.