b) Seja f(x)= \begin{cases}1-x, & \text { se } x>0 ; \\\ e^{x}, & \text { se } x \leq 0 .\end{cases}
i. (0,5 ponto) Ache a área sob o gráfico da função f de x=-1 até x=2 que está acima do eixo- x.
ii. (1,0 ponto) Calcule \int_{-1}^{2} f(x) d x.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Parte (a):
Dá o somatório\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(\frac{2}{n}i\right)^{2}}-\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{1}{n}i\right)^{2}}\right].
e pede:
i. A área sob o gráfico de f de x=-1 até x=2 que está acima do eixo-x.
ii. O valor de \displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx.]
Passo 2
Entendendo a soma da parte (a) como soma de Riemann (ideia e identificação dos \Delta x e pontos amostrais).
Lembrete rápido sobre Riemann: uma soma de Riemann na forma \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x com \Delta x\to0 representa a integral \int_a^b f(x)\,dx se os x_i são pontos de uma partição de [a,b]. Em particular, para particionarmos [0,2] com \Delta x=\tfrac{2}{n} e escolhermos pontos x_i=\tfrac{2}{n}i (right endpoints), temos
Interpretação geométrica dos integrandos \sqrt{R^2-x^2}.
A função y=\sqrt{R^2-x^2} é a metade superior do círculo de raio R centrado na origem, isto é, o semicírculo superior da equação x^2+y^2=R^2.
A integral \displaystyle\int_0^R \sqrt{R^2-x^2}\,dx representa a área do quarto de círculo de raio R (porque integramos apenas x de 0 a R e tomamos a metade superior).
Assim:
\displaystyle\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx é a área do quarto do círculo de raio 2. A área total do círculo de raio 2 é \pi\cdot 2^2=4\pi; um quarto disso vale \tfrac{4\pi}{4}=\pi.
\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx é a área do quarto do círculo de raio 1. A área total é \pi\cdot1^2=\pi; um quarto disso vale \tfrac{\pi}{4}.
Passo 4
Cálculo numérico do limite da parte (a) e descrição da região.
Calcule os dois integrais usando a interpretação geométrica:
Descrição (esboço) da região cuja área é esse valor:
Considere o primeiro quadrante (x\ge0, y\ge0).
A curva superior maior é o semicírculo y=\sqrt{4-x^2} para 0\le x\le 2.
A curva interna (subtraída) é y=\sqrt{1-x^2} para 0\le x\le1.
A região correspondente é a parte sob o semicírculo de raio 2 sobre 0\le x\le2, com a parte sob o semicírculo de raio 1 sobre 0\le x\le1 removida. Em termos de faixas verticais: para 0\le x\le1 são os pontos entre y=\sqrt{1-x^2} (inferior) e y=\sqrt{4-x^2} (superior); para 1<x\le2 são os pontos entre y=0 e y=\sqrt{4-x^2}.
Se for desenhar: trace o círculo de raio 2 no primeiro quadrante, depois o círculo menor de raio 1 também no primeiro quadrante; a região pedida é a “lâmina” entre os dois (mais a parte do quarto grande que fica para x>1) — totalizando área \tfrac{3\pi}{4}.
Passo 5
Parte (b) — identificar onde f é positiva e decompor intervalos para integrar.
Primeiro, localizar onde f(x)\ge0 no intervalo [-1,2]:
Para x\le0, f(x)=e^{x}. Como e^{x}>0 para todo x, em [-1,0] temos f(x)>0.
Para x>0, f(x)=1-x. A equação 1-x=0 dá x=1. Assim 1-x\ge0 quando x\le1. Então em (0,1] temos f(x)\ge0, e em (1,2] temos f(x)<0.
Conclusão para o item (i): a parte do gráfico acima do eixo-x em [-1,2] corresponde a x\in[-1,1]. Logo a área pedida é\int_{-1}^{0} e^{x}\,dx \;+\; \int_{0}^{1} (1-x)\,dx.
(a) Região: no primeiro quadrante, a região sob y=\sqrt{4-x^{2}} para 0\le x\le2 com a parte sob y=\sqrt{1-x^{2}} (em 0\le x\le1) removida.
(a) Valor do limite: \displaystyle \frac{3\pi}{4}
(b)(i) Área acima do eixo-x em [-1,2]: \displaystyle \frac{3}{2}-\frac{1}{e}