a) (1,0 ponto) Esboce a região cuja área é igual a
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left[\frac{2}{n} \sqrt{4-\left(\frac{2}{n} i\right)^{2}}-\frac{1}{n} \sqrt{1-\left(\frac{1}{n} i\right)^{2}}\right]
e calcule o limite acima.
b) Seja f(x)= \begin{cases}1-x, & \text { se } x>0 ; \\\ e^{x}, & \text { se } x \leq 0 .\end{cases}
i. (0,5 ponto) Ache a área sob o gráfico da função f de x=-1 até x=2 que está acima do eixo- x.
ii. (1,0 ponto) Calcule \int_{-1}^{2} f(x) d x.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Parte (a):
    • Dá o somatório \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(\frac{2}{n}i\right)^{2}}-\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{1}{n}i\right)^{2}}\right].
    • Pede:
      1. Esboçar a região cuja área é igual a esse limite.
      2. Calcular o valor desse limite.
  • Parte (b): define a função em partes
    f(x)=\begin{cases}1-x, & \text{se } x>0,\\[4pt] e^{x}, & \text{se } x\le 0,\end{cases}
    e pede:
    i. A área sob o gráfico de f de x=-1 até x=2 que está acima do eixo- x.
    ii. O valor de \displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx.]

Passo 2

Entendendo a soma da parte (a) como soma de Riemann (ideia e identificação dos \Delta x e pontos amostrais).
  • Lembrete rápido sobre Riemann: uma soma de Riemann na forma \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x com \Delta x\to0 representa a integral \int_a^b f(x)\,dx se os x_i são pontos de uma partição de [a,b]. Em particular, para particionarmos [0,2] com \Delta x=\tfrac{2}{n} e escolhermos pontos x_i=\tfrac{2}{n}i (right endpoints), temos
    \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} \frac{2}{n}\,g\!\left(\tfrac{2}{n}i\right)=\int_0^2 g(x)\,dx.
  • Aplicando isso ao primeiro somando da expressão:
    • A largura da faixa é \Delta x_1=\tfrac{2}{n}.
    • O ponto amostral é x_i^{(1)}=\tfrac{2}{n}i que varia de \tfrac{2}{n} até 2.
    • A função avaliada é g_1(x)=\sqrt{4-x^2}.
    • Logo o primeiro somando corresponde a uma soma de Riemann para \displaystyle\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx.
  • Para o segundo somando:
    • A largura é \Delta x_2=\tfrac{1}{n}.
    • O ponto amostral é x_i^{(2)}=\tfrac{1}{n}i que varia de \tfrac{1}{n} até 1.
    • A função é g_2(x)=\sqrt{1-x^2}.
    • Logo o segundo somando corresponde a \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx.
Portanto a soma total tende a
\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx \;-\; \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx.

Passo 3

Interpretação geométrica dos integrandos \sqrt{R^2-x^2}.
  • A função y=\sqrt{R^2-x^2} é a metade superior do círculo de raio R centrado na origem, isto é, o semicírculo superior da equação x^2+y^2=R^2.
  • A integral \displaystyle\int_0^R \sqrt{R^2-x^2}\,dx representa a área do quarto de círculo de raio R (porque integramos apenas x de 0 a R e tomamos a metade superior).
  • Assim:
    • \displaystyle\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx é a área do quarto do círculo de raio 2. A área total do círculo de raio 2 é \pi\cdot 2^2=4\pi; um quarto disso vale \tfrac{4\pi}{4}=\pi.
    • \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx é a área do quarto do círculo de raio 1. A área total é \pi\cdot1^2=\pi; um quarto disso vale \tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Cálculo numérico do limite da parte (a) e descrição da região.
  • Calcule os dois integrais usando a interpretação geométrica:
    \int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx = \pi,\qquad \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{4}.
  • Portanto o valor do limite é
    \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
  • Descrição (esboço) da região cuja área é esse valor:
    • Considere o primeiro quadrante ( x\ge0, y\ge0).
    • A curva superior maior é o semicírculo y=\sqrt{4-x^2} para 0\le x\le 2.
    • A curva interna (subtraída) é y=\sqrt{1-x^2} para 0\le x\le1.
    • A região correspondente é a parte sob o semicírculo de raio 2 sobre 0\le x\le2, com a parte sob o semicírculo de raio 1 sobre 0\le x\le1 removida. Em termos de faixas verticais: para 0\le x\le1 são os pontos entre y=\sqrt{1-x^2} (inferior) e y=\sqrt{4-x^2} (superior); para 1<x\le2 são os pontos entre y=0 e y=\sqrt{4-x^2}.
    • Se for desenhar: trace o círculo de raio 2 no primeiro quadrante, depois o círculo menor de raio 1 também no primeiro quadrante; a região pedida é a “lâmina” entre os dois (mais a parte do quarto grande que fica para x>1) — totalizando área \tfrac{3\pi}{4}.

Passo 5

Parte (b) — identificar onde f é positiva e decompor intervalos para integrar.
  • Primeiro, localizar onde f(x)\ge0 no intervalo [-1,2]:
    • Para x\le0, f(x)=e^{x}. Como e^{x}>0 para todo x, em [-1,0] temos f(x)>0.
    • Para x>0, f(x)=1-x. A equação 1-x=0 x=1. Assim 1-x\ge0 quando x\le1. Então em (0,1] temos f(x)\ge0, e em (1,2] temos f(x)<0.
  • Conclusão para o item (i): a parte do gráfico acima do eixo- x em [-1,2] corresponde a x\in[-1,1]. Logo a área pedida é \int_{-1}^{0} e^{x}\,dx \;+\; \int_{0}^{1} (1-x)\,dx.

Passo 6

Calcular explicitamente a área pedida em (b)(i).
  • Calcule \displaystyle\int_{-1}^{0} e^{x}\,dx:
    \int_{-1}^{0} e^{x}\,dx = \big[e^{x}\big]_{-1}^{0} = e^{0}-e^{-1} = 1-\frac{1}{e}.
    (Aqui usei a primitiva de e^{x} que é e^{x}.)
  • Calcule \displaystyle\int_{0}^{1} (1-x)\,dx:
    \int_{0}^{1} (1-x)\,dx = \big[x-\tfrac{x^{2}}{2}\big]_{0}^{1} = \left(1-\tfrac{1}{2}\right)-0 = \tfrac{1}{2}.
  • Soma das áreas positivas:
    \left(1-\frac{1}{e}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{e}.

Passo 7

Calcular \displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx (item (b)(ii)) como integral imprópria por partes (dividindo nos pontos de mudança de definição).
  • Quebrar a integral em três partes segundo as quebras em x=0 e x=1:
    \int_{-1}^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} e^{x}\,dx \;+\; \int_{0}^{1} (1-x)\,dx \;+\; \int_{1}^{2} (1-x)\,dx.
  • Já calculamos as duas primeiras:
    \int_{-1}^{0} e^{x}\,dx = 1-\frac{1}{e},\qquad \int_{0}^{1} (1-x)\,dx = \frac{1}{2}.
  • Calcule a terceira:
    \int_{1}^{2} (1-x)\,dx = \big[x-\tfrac{x^{2}}{2}\big]_{1}^{2} = \left(2-\tfrac{4}{2}\right)-\left(1-\tfrac{1}{2}\right) = (2-2)-(1-\tfrac{1}{2}) = 0-\tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}.
  • Somando tudo:
    \left(1-\frac{1}{e}\right) + \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = 1-\frac{1}{e}.

Resposta

(a) Região: no primeiro quadrante, a região sob y=\sqrt{4-x^{2}} para 0\le x\le2 com a parte sob y=\sqrt{1-x^{2}} (em 0\le x\le1) removida.
(a) Valor do limite: \displaystyle \frac{3\pi}{4}
(b)(i) Área acima do eixo- x em [-1,2]: \displaystyle \frac{3}{2}-\frac{1}{e}
(b)(ii) \displaystyle \int_{-1}^{2} f(x)\,dx = 1-\frac{1}{e}

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