Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
\{\frac{1-2 n^{2}}{n^{2}}\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left\{ \dfrac{1-2 n^{2}}{n^{2}} \right\} (para n natural) e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona.
Informações relevantes que temos:
  • A fórmula do termo geral é a_n=\dfrac{1-2 n^{2}}{n^{2}}.
  • A pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona?
  • Não há outras condições ou restrições; n varia em \mathbb{N} (normalmente n\ge 1).

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral para trabalhar com uma forma mais clara. Dividindo cada termo do numerador por n^{2},
a_n=\frac{1-2 n^{2}}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}-2.
Essa forma já dá uma boa intuição: a_n é -2 somado a um termo positivo 1/n^{2} que depende de n.

Passo 3

Vamos lembrar como testar monotonicidade de uma sequência real:
  • A sequência (a_n) é crescente (não-decrescente) se a_{n+1}\ge a_n para todo n.
  • A sequência é estritamente crescente se a_{n+1}>a_n para todo n.
  • A sequência é decrescente (não-crescente) se a_{n+1}\le a_n para todo n.
  • A sequência é estritamente decrescente se a_{n+1}<a_n para todo n.
Um método prático é calcular a diferença a_{n+1}-a_n. Se essa diferença for negativa para todo n, a sequência é estritamente decrescente; se for positiva, é estritamente crescente.

Passo 4

Vamos calcular a_{n+1}-a_n usando a forma simplificada a_n=\dfrac{1}{n^{2}}-2.
Primeiro escrevemos a_{n+1}:
a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}-2.
Agora a diferença:
a_{n+1}-a_n=\left(\frac{1}{(n+1)^{2}}-2\right)-\left(\frac{1}{n^{2}}-2\right) =\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}.
Colocando na mesma fração (denominador comum n^{2}(n+1)^{2}):
a_{n+1}-a_n=\frac{n^{2}-(n+1)^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}.
Desenvolvendo o numerador:
n^{2}-(n+1)^{2}=n^{2}-(n^{2}+2n+1)=-2n-1.
Portanto
a_{n+1}-a_n=\frac{-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}.

Passo 5

Analisando o sinal de a_{n+1}-a_n:
  • O denominador n^{2}(n+1)^{2} é estritamente positivo para todo n\in\mathbb{N}.
  • O numerador -2n-1 é estritamente negativo para todo n\in\mathbb{N} (pois 2n+1>0).
Logo a razão \dfrac{-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} é estritamente negativa para todo n. Assim a_{n+1}-a_n<0 para todo n, o que equivale a a_{n+1}<a_n para todo n. Como verificação numérica rápida: a_1=-1, a_2=-\tfrac{7}{4}=-1{,}75, a_3=-\tfrac{17}{9}\approx-1{,}888, os termos vão ficando menores.

Resposta

Decrescente (estritamente decrescente)

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