Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
(para
natural) e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona.
Informações relevantes que temos:
- A fórmula do termo geral é
. - A pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona?
- Não há outras condições ou restrições;
varia em (normalmente ).
Passo 2
Primeiro simplificamos o termo geral para trabalhar com uma forma mais clara. Dividindo cada termo do numerador por
,
Essa forma já dá uma boa intuição:
é
somado a um termo positivo
que depende de
.
Passo 3
Vamos lembrar como testar monotonicidade de uma sequência real:
- A sequência
é crescente (não-decrescente) se para todo . - A sequência é estritamente crescente se
para todo . - A sequência é decrescente (não-crescente) se
para todo . - A sequência é estritamente decrescente se
para todo .
Um método prático é calcular a diferença
. Se essa diferença for negativa para todo
, a sequência é estritamente decrescente; se for positiva, é estritamente crescente.
Passo 4
Vamos calcular
usando a forma simplificada
.
Primeiro escrevemos :
Primeiro escrevemos
Agora a diferença:
Colocando na mesma fração (denominador comum
):
Desenvolvendo o numerador:
Portanto
Passo 5
Analisando o sinal de
:
- O denominador
é estritamente positivo para todo . - O numerador
é estritamente negativo para todo (pois ).
Logo a razão
é estritamente negativa para todo
. Assim
para todo
, o que equivale a
para todo
. Como verificação numérica rápida:
,
,
, os termos vão ficando menores.
Resposta
Decrescente (estritamente decrescente)