descreva o intervalo de números reais.
4<x \leq 9

Passo 1

O enunciado pede para descrever o conjunto de números reais que satisfazem a desigualdade 4 < x \le 9. As informações dadas são:
  • Há uma restrição à esquerda: 4 < x.
  • Há uma restrição à direita: x \le 9.
    Não vou resolver nada além de identificar claramente o que está pedido: descrever esse intervalo de reais.

Passo 2

Entendendo cada parte da desigualdade:
  • A expressão 4 < x significa que x é estritamente maior que 4. Isso quer dizer que o número 4 NÃO pertence ao conjunto; valores como 4,0 ou 4 exato estão proibidos.
  • A expressão x \le 9 significa que x é menor ou igual a 9. Isso quer dizer que o número 9 pertence ao conjunto; valores como 9 ou 8,999 são permitidos.
    Juntando: estamos olhando todos os números maiores que 4 e, ao mesmo tempo, menores ou iguais a 9.

Passo 3

Intervalo em notação de intervalo (a forma curta e usual):
  • Como o 4 NÃO está incluído usamos parêntese à esquerda.
  • Como o 9 ESTÁ incluído usamos colchete à direita.
    Portanto a notação de intervalo é (4,9].
Aqui uma mini-aula sobre essa notação:
  • Em (a,b) ambos os extremos são excluídos (intervalo aberto).
  • Em [a,b] ambos os extremos são incluídos (intervalo fechado).
  • Em (a,b] o extremo esquerdo é excluído e o direito é incluído (meio aberto).
  • Em [a,b) o extremo esquerdo é incluído e o direito é excluído.

Passo 4

Notação em forma de conjunto (set-builder), que é muito explícita e útil em provas:
\{\,x \in \mathbb{R} \mid 4 < x \le 9\,\}.
Isto lê-se: “o conjunto de todos os x em \mathbb{R} tais que 4 < x \le 9”.

Passo 5

Como desenhar isso mentalmente na reta numérica (útil para prova):
  • Marcar o ponto 4 com um círculo aberto (ou seja, não pintado) para indicar que 4 não pertence.
  • Marcar o ponto 9 com um ponto preenchido para indicar que 9 pertence.
  • Pintar (ou sombrear) toda a reta entre esses dois pontos, do lado de 4 (excluindo-o) até o 9 (incluindo-o).

Passo 6

Exemplos práticos para fixar:
  • x=4 não pertence porque não satisfaz 4<x.
  • x=4{,}1 pertence porque 4<4{,}1\le 9.
  • x=9 pertence porque 9\le 9.
  • x=9{,}001 não pertence porque viola x\le 9.

Passo 7

Comprimento (medida) do intervalo:
  • A “tamanho” do intervalo é a diferença entre os extremos 9-4.
9-4=5.
Isso significa que o intervalo ocupa um segmento de reta de comprimento 5. Obs.: isso não depende de inclusão/exclusão dos extremos — a medida é a mesma.

Passo 8

Propriedades rápidas e úteis para prova:
  • O conjunto é um intervalo convexo e conexo (não tem furos entre 4 e 9).
  • É infinito em termos de cardinalidade (tem infinitos pontos; de fato é não enumerável).
  • A fronteira (boundary) do conjunto é \{4,9\}; o interior é (4,9).

Resposta

(4,9]
\{\,x\in\mathbb{R}\mid 4<x\le 9\,\}
comprimento: 5

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