descreva o intervalo de números reais.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o conjunto de números reais que satisfazem a desigualdade
. As informações dadas são:
- Há uma restrição à esquerda:
. - Há uma restrição à direita:
.
Não vou resolver nada além de identificar claramente o que está pedido: descrever esse intervalo de reais.
Passo 2
Entendendo cada parte da desigualdade:
- A expressão
significa que é estritamente maior que . Isso quer dizer que o número NÃO pertence ao conjunto; valores como ou exato estão proibidos. - A expressão
significa que é menor ou igual a . Isso quer dizer que o número pertence ao conjunto; valores como ou são permitidos.
Juntando: estamos olhando todos os números maiores quee, ao mesmo tempo, menores ou iguais a .
Passo 3
Intervalo em notação de intervalo (a forma curta e usual):
- Como o
NÃO está incluído usamos parêntese à esquerda. - Como o
ESTÁ incluído usamos colchete à direita.
Portanto a notação de intervalo é.
Aqui uma mini-aula sobre essa notação:
- Em
ambos os extremos são excluídos (intervalo aberto). - Em
ambos os extremos são incluídos (intervalo fechado). - Em
o extremo esquerdo é excluído e o direito é incluído (meio aberto). - Em
o extremo esquerdo é incluído e o direito é excluído.
Passo 4
Notação em forma de conjunto (set-builder), que é muito explícita e útil em provas:
Isto lê-se: “o conjunto de todos os
em
tais que
”.
Passo 5
Como desenhar isso mentalmente na reta numérica (útil para prova):
- Marcar o ponto
com um círculo aberto (ou seja, não pintado) para indicar que não pertence. - Marcar o ponto
com um ponto preenchido para indicar que pertence. - Pintar (ou sombrear) toda a reta entre esses dois pontos, do lado de
(excluindo-o) até o (incluindo-o).
Passo 6
Exemplos práticos para fixar:
-
não pertence porque não satisfaz . -
pertence porque . -
pertence porque . -
não pertence porque viola .
Passo 7
Comprimento (medida) do intervalo:
- A “tamanho” do intervalo é a diferença entre os extremos
.
Isso significa que o intervalo ocupa um segmento de reta de comprimento
. Obs.: isso não depende de inclusão/exclusão dos extremos — a medida é a mesma.
Passo 8
Propriedades rápidas e úteis para prova:
- O conjunto é um intervalo convexo e conexo (não tem furos entre
e ). - É infinito em termos de cardinalidade (tem infinitos pontos; de fato é não enumerável).
- A fronteira (boundary) do conjunto é
; o interior é .
Resposta
comprimento: