Considere a função dada por
f(x)= 2 x^2+3 x+alpha & , se x<0 ; e^x & , se x >= 0
Determine o valor de a para o qual fé contínua em x=0, justificando a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda a fórmula dependendo se $ x $ é menor que 0 ou maior ou igual a 0. O objetivo é descobrir qual valor de $ \alpha $ faz essa função ser contínua em $ x = 0 $. Ou seja, queremos que a função não “quebre” nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em $ x = 0 $. Contínua significa que, quando a gente se aproxima de $ x = 0 $ por qualquer lado (pela esquerda ou pela direita), os valores da função chegam ao mesmo número, que também é o valor da função em $ x = 0 $.

Passo 3

A função dada é:
f(x) = 2x^2 + 3x + alpha & , se x < 0; e^x & , se x >= 0
Vamos analisar os dois lados de $ x = 0 $.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 0 vindo de valores maiores ou iguais a 0:
x
Então, o valor pela direita é 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 0 vindo de valores menores que 0:
x
Como $ x $ está se aproximando de 0, $ x^{2} $ e $ x $ vão para 0, então:
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (2x^2 + 3x + alpha)
Então, o valor pela esquerda é $ \alpha $.

Passo 6

Para que a função seja contínua em $ x = 0 $, os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais e também iguais ao valor da função em $ x = 0 $. Sabemos que:
x = 0
Então, igualando os limites:
x = 0

Resposta

O valor de $ \alpha $ que torna a função contínua em $ x = 0 $ é $ \alpha = 1 $.

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