Considere a função dada por
Determine o valor de a para o qual fé contínua em
, justificando a sua resposta.
Determine o valor de a para o qual fé contínua em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda a fórmula dependendo se $ x $ é menor que 0 ou maior ou igual a 0. O objetivo é descobrir qual valor de $ \alpha $ faz essa função ser contínua em $ x = 0 $. Ou seja, queremos que a função não “quebre” nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em $ x = 0 $. Contínua significa que, quando a gente se aproxima de $ x = 0 $ por qualquer lado (pela esquerda ou pela direita), os valores da função chegam ao mesmo número, que também é o valor da função em $ x = 0 $.
Passo 3
A função dada é:
Vamos analisar os dois lados de $ x = 0 $.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 0 vindo de valores maiores ou iguais a 0:
Então, o valor pela direita é 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 0 vindo de valores menores que 0:
Como $ x $ está se aproximando de 0, $ x^{2} $ e $ x $ vão para 0, então:
Então, o valor pela esquerda é $ \alpha $.
Passo 6
Para que a função seja contínua em $ x = 0 $, os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais e também iguais ao valor da função em $ x = 0 $. Sabemos que:
Então, igualando os limites:
Resposta
O valor de $ \alpha $ que torna a função contínua em $ x = 0 $ é $ \alpha = 1 $.